Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Для больших г, малых а/г из (11.306) и (11.305) получим
Выражение для есть частный случай (11.214) при N = 0 и Д = а= const. Следовательно, рассматриваемая метрика аксиально симметрична и симметрична относительно отражений с точностью до O1. Поскольку массовая функция постоянна, из соображений, изложенных на стр. 336,
что и следовало ожидать. С другой стороны, член Zj^ порядка O2 аксиально симметричен, но не симметричен относительно отражений. По этой причине члены такого типа не содержатся в (11.214) (конечно, это лишь частный случай общей метрики, рассмотренной Саксом [212]).
Mik = (l/с) J (х‘ XkZii) V(—g) dx1 dx2dx3 +
(11,303)
Xі = (X, у, z, ct) = (г sin 0 COS ф, r sin 0 sin ф, Г COS 0, ct) линейный элемент Керра имеет вид
(1 1.304)
ds2 = dx2-\-dy2Jrdz2 — с2 с//2+[ар3/(р4 + а2 z3)] (dQ)2; dO = р (xdx+ydy)/(p'2+a2) + а (xdy — у dx)Kp'1+ a2)
(11.305)
+ zdz/p— с dt,
P4—(г2 —а2) р2 — а2 Z2 = O.
(11.306)
р = Ml — а2 sin2 0/2г2) = r (I +O2); ар3/(р4+а3 Z2) = a/r+Os; dO— —ці dx‘-r(a sin в/г) /г- dx‘ + 02,
(11.307)
где [іг и Ii — величины, определенные в (11.207).
Из (11.307) и (11.305) находим компоненты метрического тензора
Sik — 1Iift У ik + ? + ^з>
У ih = ®ife/ґ ’ = '
агь = ащ JifeI Рій = —аа sin 0 (цг- Ik +/, Jift).
(11.308)
Pi = (4ла/кс) 8и,
(11.309)
344
Производные величин yik и Zih в (И-308) можно получить из (11.220), а прямыми вычислениями — асимптотические выражения для (pikl (11.270) и Kiklm (11.293), соответствующие метрике Керра (11.308). Находим
q>*unx=(<z/w») («'+я')+Os. (11.310)
Поскольку среднее значение п‘ по всем направлениям равно нулю, выражение (11.272) сводится к (11.309) для P1. Далее, среднее по всем направлениям значение подынтегрального выражения в (11.298) равно
Klkik— (Заа/2яг2) sin 0 (nl Ik — пк Iі) +O3
и
Mtfe = (Заа/2хс) J (til Ik — пк Iі) sin 0 dco, (11.311)
Следовательно,
Ми=М*к = 0, (11.312)
и для вектора углового момента получаем выражение
Mti = Efiv3l Mv*/2 = (Заа/2хс) J Cfiv3l пУ /Л s in 0 da> =
я
= (3аа/2хс) Jj ( —m ) sin2 б d6 dtp —S^3 (Заа/2хс) 2л | sin2 0 d0,
0
или
б^з 4лаа/хс — Mcadfx3j (11.313)
где M — полная масса (11.88). Итак, вектор углового момента материальной системы,
порождающей внешнюю метрику (11.305), направлен по оси симметрии, а его модуль
I M I = Mc I а ). (11.314)
Покажем, наконец, что условие (11.301) удовлетворяется в нашем случае- Во-первых, легко видеть, что 0‘vnv есть величина порядка О5 при больших г. Запишем
Oa7ZZv = (O5)*. (11.315)
Поскольку xi=rnL-\-xib4, на цилиндре С (11.300) имеем
Mlkk n^ = xl 0*^ пк — хк Qlk =
= п‘ (Ol)It-Hk (04)4? {Si (O5)*-Sj (ObY),
где мы положили
Rn (Orriilz ~ (От-п)Ь-
Следовательно,
Xjfc=Iim f {пс (02)к — Wft(O2)1Jdcod/ +
R->OC Q
+ Iim (1/с) Ґ {§1 (O3)fe^б? (O3)OdG^d*1. (11.316)
R-со ?
Поскольку протяженность цилиндра С в пространственноподобном направлении возрастает не быстрее г, интегралы в (11.316) будут порядка O1. Поэтому условие (11,301)
удовлетворяется, и Mik имеет все свойства типа 4 на стр. 343.
4-Тензор углового момента Mik удовлетворяет и соотношению
MikPh = 0. (11.317)
В глобально покоящейся системе координат условие (11.317) есть просто следствие <11.309) и (11.312). Поэтому, учитывая трансформационные свойства 1—4, видим, что (11.317) должно иметь место в произвольной асимптотически лоренцевой системе координат.
Глава
12
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 12Л. Эйнштейновское, или гравитационное, смещение спекла льны х л UiIHit
В то время как следствия СТО проверены с высокой степенью точности в многочисленных экспериментах, экспериментальное подтверждение общей теории относительности на протяжении полувека ограничивалось всего лишь тремя классическими эйнштейновскими эффектами: красное смещение спектральных линий излучения небесных тел, сдвиг перигелия Меркурия и отклонение света гравитационным полем Солнца. Учитывая трудность точного исследования физических условий на небесных телах, эти подтверждения теории можно считать до некоторой степени неопределенными, и долгое время казалось невероятным, чтобы стала возможной какая бы то ни была проверка общей теории относительности в земных или околоземных условиях. Однако во второй половине пятидесятых годов ситуация в этом отношении резко изменилась. Огромный прогресс экспериментальной техники и запуск космических аппаратов открыли совершенно новые, неожиданные возможности проверки общей теории относительности.
Наиболее простой из трех классических эффектов — эйнштейновское смещение спектральных линий излучения атомов в стационарном гравитационном поле, наблюдаемое в точке с гравитационным потенциалом, отличным от потенциала в месте излучения. Теоретически этот эффект был детально рассмотрен в § 10.7. Его можно рассматривать как смещение либо спектроскопической стандартной частоты v0, либо координатной частоты v0. В любом случае относительное смещение выражается формулами (10.212), (10.218):
