Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
do = (yuvdx*ldxv)K — (I -J-а/г) % dx=dx(l + а/2г) (12.85)
и для соответствующего координатного времени пролета этого участка
dt — dalc* = dx(\ -f-a/2r)/c(l—а/г)і/г = (dx/c) (I -J-a/r). (12.86)
Обозначим через (xe, te) координаты (x, t) сигнала, испускаемого с Земли, а через (Xp, tp) — координаты принимаемого сигнала. Если пренебречь движением Земли за время от испускания до приема сигнала, то для полной задержки сигнала (хе С хр) получим значение
tP хр
t — 2 ^dt = 2 (хр—хе)/с-{-(2а/с) § dx/(xl-\- Л2)'/=.
*е хе
Следовательно,
t = tN + (2а/с) In {[хр + (х| + А2)У*]1[хе -J- (х* + Л2)’-]}, (12.87)
где
tN = 2 (Xp-Xe)Ic (12.88)
есть время запаздывания в инерциальной системе с лоренцевыми координатами (х, у, z, ct). Если пренебречь неевклидовостью пространства и учесть только изменение с*, можно получить «избыточную задержку»
At ==t—tN - (а/с) In {[JCp + (х? + Д*)Щ1[хе + (хі + Д2)Щ, (12.89)
т. е. только половину значения (12.87), требуемого общей теорией относитель-
ности.
В нашем случае координатное время t равно мировому времени (см. § 10.3), которое можно отождествить с сидерическим временем Солнечной системы. Экспериментально время измеряется с помощью атомных часов, которые считаются стандартными вследствие их высокой точности [168J. В соответствии с (8.115) отсчет по часам, находящимся на Земле в состоянии покоя, равен
т = * (I -J- 2х/с2 —U2Jc^ = t (I —a/2re — ul/2c*)V‘, (12.90)
357
j де. re (х\ + A2)1-'2, a ue ^ Z-IO1 м/сек — орбитальная скорость Земли, (влиянием гравитационного поля Земли пренебрегаем.) Из (12.87) и (12.90) с точностью до величин^первого порядка по аIr и и%!с2 получаем
Дт == т—= (2а/с) In {[хр + (*• + Д2)К][[хе + (х? + Д2)’/*]} —
— (а/с) (хр—xe)l(xl + Д*)% —(м*/с*) (хр-хе)/с. (12.91)
Если планета находится вблизи верхнего соединения, то
хе~ I хе I» хр — I хр I > Д2 (хе» Хр), (12.92)
и (12.91) сводится к уравнению
At = (2а/с) In [41 хе хр I /Л2] - (а/с) (| Xe j + (хр | )/хе —
— (и',1<?)(\хв\ + \хр\)1с. (12.93)
P I! С. 19.
Чтобы получить порядок величины запаздывания, можно в (12.93) положить Iхе j и I хр I равными обычным астрономическим радиусам орбит Земли и планеты соответственно. В случае Меркурия находим, что последние два члена в правой части (12.93) имеют порядок IO-5, а поскольку Д2 < 4 \хе хр|, ими можно пренебречь по сравнению с первым членом. Например, если Д — двойной радиус Солнца (12.5), то для запаздывания получим
Дт = 1,6-IO-4 сек. (12.94)
Для всех других положений, удовлетворяющих (12.92), At значительно меньше (12.94).
Запаздывание времени t можно вычислить, используя гармонические координаты. Если вычисления выполняются в первоначальных координатах Шварцшильда, то для t получается выражение, отличающееся от (12.87) [227, 228], однако лишь потому, что координаты г и х в двух координатных системах отличаются друг от друга в соответствии с уравнением (а) на стр. 317 на величину порядка а. Ho основной логарифмический член одинаков в обоих выражениях, а остальные члены в выражении для Ar в координатах Шварцшильда того же типа и того же порядка, что и два других члена в правой часті! (12.93). Следовательно, полагая новые \хе\ и |хр| равными астрономическим
358
оператор градиента. Аналогично мы можем определить ковариантное дифференцирование стандартных тензорных полей, дивергенцию и ротор стандартных векторов, параллельный перенос стандартных векторов и т. д. В упражнении 1 этого параграфа приведены соответствующие формулы. Здесь мы рассмотрим лишь стандартный аналог абсолютной производной вектора. Как и в § 9.8, введем векторное поле A j (X), определенное на кривой Xi = = хг(Я) с инвариантным параметром X. Абсолютная производная от А г есть вектор (9.133):
DAfZdX = dA-JdX—A1 Ttiik Uk; Uk = dxkldX.
Соответствующий сопряженный стандартный вектор
DAiUiX^iDAJdX = Uhi (dAr/dX—A‘ Tu и Us) =
= d AiJdX—A1 (j?!r6sn[;] + II[i] ГЛ rs) Us можно представить в форме
D A JdX ^dAJdX-X1Tu ihUk,
где
Tltik- glm П™ П[ц ds П[г)+п[„ Tirlil Щц Tti rs.
В стандартном векторном анализе величины Г;, <¦? играют ту же роль, что и символы Кристоффеля в обычном векторном анализе. В соответствии с (9.77) символы Кристоффеля равны
гл rs = (д8 gtr + dr gts — dt grs)I^- (9.350)
Поэтому из (9.335), (9.321) и (9.304) имеем
Г/, ik - Г/, *-(1_/2) I gtrdk [Tllt1 Піп) + Stsdi (П^3 1?) -
-grsdi (П[0 Пи)} —glmIft1 дк и[гт\ (9.351)
где
Г,, ik = [dk ёи+Ъ gih—di gik)/2 = Tlki (9.352)
получаются из символов Кристоффеля расстановкой черточек над всеми величинами в (9.350). Кроме того, снова используя (9.321), (9.304) и (9.340), последний член в фигурных скобках формулы (9.351) представим в виде
grs ді (Пт ПУ = grs П[і] Bi П[к] + grs ITm di U[n =
= Sim ПІт] O1 Піц +йт П';] ді ПrUl= - ІЛггп П[,] + gkm Пгт)д' П[т] =
= (§іл + ^4 П[,-]) ді Гг.
Аналогичные выражения получаются и для других членов в фигурных скобках этой формулы. Подставляя эти выражения в (9.351), имеем
I /, ih — Г'г, ik + Th + &ih Ti — Qik Гi) 1с, (9.353)
