Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
gkl dgki/дх1 = 0. (9.282)
В соответствии с (9.126) и (9.127) их можно представить в виде Г;* = 0,
dgjdx‘ = 0, т. е. g = const. Постоянную всегда можно положить равной — 1.
Поэтому условия (9.282) эквивалентны требованию, чтобы определитель g метрического тензора везде был равен—1;
g = —1. (9.282')
§ 9.16. Калибровочно-инвариантные величины. Стандартные 4-тензоры.
В предыдущих параграфах мы рассматривали множество величин, которые для полной группы общих пространственно-временных преобразований являлись векторами и тензорами. Однако часто приходится иметь дело с величинами, которые ведут себя как тензоры при более ограниченной группе преобразований. Например, упоминавшиеся в § 9.5 аффинные тензоры являются тензорами лишь относительно линейных преобразований. Теперь исследуем подгруппу преобразований (8.59), названных в §8.13 калибровочными преобразованиями. Чтобы избежать ненужных усложнений, рассмотрим лишь такие преобразования, для которых а\ = дх'Чдх* > 0, т. е. откажемся от использования часов, идущих в обратном направлении. Таким образом, рассматриваемые калибровочные преобразования имеют вид
x'iх = X1V(Xv)] Xfi = X"1 (Xі)-,)
а? = а? = 0; а* > 0. ) (9'283)
При таких преобразованиях система отсчета R, соответствующая системе координат S, не изменяется, так как преобразования (9.283) просто вводят другое упорядочивание точек отсчета и изменяют скорость и установку хода координатных часов. Калибровочные преобразования (9.283) могут быть составлены из чисто пространственного преобразования
х'м. = х'^ (xv); Xri = Xi, (9.284)
которому предшествовало произвольное изменение масштаба времени
х'» = х»; Xri = Xli(Xi). (9.285)
При преобразованиях (9.284) пространственные компоненты А» и A11 4-вектора Ai = gihAk преобразуются как контравариантные и ковариантные компоненты 3*вектора соответственно, но в общем случае они являются компонентами двух различных 3-векторов, поскольку Aix равно -Vliv Av лишь в частном случае. Наша цель — построить калибровочно-инвариантные величины. Для этого удобно в каждой системе координат S ввести следующие величины:
Ti = alt/(- ^14JX = {0, 0, 0, (1 + 2х/с2)-1/*}; 1
r( = ftfcr* = ftt/(-^)» = {Y№f-(l +2х/с-)й}, J
251
Поскольку гравитационное поле статично, энергия частицы Я, определяемая формулой (10.95), постоянна. Следовательно,
HIm0 с2 = Г (1+ 2Xlc2) г= Г (I — air) = D (12.43)
есть первый интеграл уравнения движения, где D ¦— постоянная интегрирования, равная энергии системы, деленной на т0с2.
Из (12.42 б) видим, что
0 = л/2 (12.44)
есть второй интеграл уравнения движения.
Учитывая сферическую симметрию задачи, можем рассматривать любую плоскость как 0 = л/2, т. е. орбита частицы может лежать в любой плоскости, проходящей через центр. Используя (12.44) и (12.42 в), получаем еще один интеграл
Гг2 ф = CDt (12.45)
где С — другая постоянная интегрирования. Это уравнение, если учесть (12.43), можно переписать в виде
г2ф/(1 — air) = C. (12.46)
Даже для Меркурия — планеты, ближайшей к Солнцу, отношение а Ir является очень малой величиной порядка
a[r = 2kM/czr л* 5*10-8, (12.47)
а для других планет а Ir еще меньше. Следовательно, во всех реальных расчетах гравитационное поле можно считать слабым, а поскольку U2Ic2 1, то в качестве первого приближения для H в (12.43) можно использовать (10.110). Далее, используя (12.39), (12.37) и (12.44) для (12.43) получим в этом приближении
(/•2 + гаф2)/2—kM/r = const, (12.48)
т. е. обычный интеграл энергии в теории Ньютона. В этом же приближении (12.46) сводится к
г2 ф — С, (12.49)
г. е. к закону сохранения углового момента. Орбиты, следующие из (12.48) и (12.49), представляют собой эллипсы
r = p {1 -f-ecosfa—ф0))-1, P = а(1—е2), (12.50)
где є — эксцентриситет, a
гі =РІ(\—е) = а(1 +є), г2 = р/(1 + е) = а(1—е), (12.51)
причем T1 и г2 соответствуют афелию и перигелию планеты. Для Меркурия
имеем
є - 0,2056, р = 5,786-10 10 м. (12.52)
В случае сильных полей уравнение (12.48) должно быть заменено уравнением энергии (12.43), и вместо (12.49) мы получим интеграл (12.46).
Чтобы определить орбиту в общем случае, введем величину р = Mr вместо г. Из (12.46) имеем
г = (dr/d(p)(p — (dr I dp) (dp/dy) (Cl г2) (I — air) = —(dpldy) С (I —ар). (12.53)
С помощью формул (12.39), (12.44), (12.46) и (12.53) для скорости частицы получим формулу
«2 = С2(1—ap) {(dpfdy)2 + р2—ар3). (12.54)
352
Исі ользование выражения (12.38) для Г и возведение в квадрат уравнения іергии (12.43) дает
(1 — ap)2 = D2(l — ap—U2Ic2). (12.55)
[одставляя выражение (12.54) вместо U2 и решая относительно (dp/dq)2, поучаем дифференциальное уравнение для орбиты частицы
(dp/dcp)2= A + Bp-р2 + ар3, (12.56)
це Л и В — константы. С учетом (12.47) последний член в этом уравнении казывается малым по сравнению с р3, и, если пренебречь им, уравнение (12.56) водится к уравнению, которое можно получить из ньютоновских уравнений 12.48) и (12.49), а именно:
(dpldy)2 = A +Bp—р2, (12.57)
