Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Легко видеть, что (12.50) есть решение этого приближенного уравнения. Максимальное и минимальное значения р, соответствующие перигелию и афе-[ию, просто корни квадратного уравнения
А + Вр—р2-0. (12.58)
Пусть Pi и р2 — два корня, которые должны быть вещественными и по-гожительными в случае, если орбита находится целиком внутри конечной >бласти пространства. Тогда в соответствии с (12.51) имеем
Pi = (I — е)/р, P3 = (1 + г)!р. (12.59)
Л уравнение (12.57) можно теперь переписать в форме
(dp/dq>) = ±1/А{(р—Pi) (Pa—р)}» (12.60)
эткуда для <р2 — Cp1 при изменении р от рх до р2 получим интеграл
Pa
/'і /---------------
fa — 1Ti = J dpi V {(Р —Pi) (P2-P)I =
Pi
= arcsin j р----(Pi + P2) 1^-( Р* —Рі)}*=я (12.61)
в соответствии с решением (12.50).
Возвращаясь к точному уравнению (12.56), видим, что правая часть его — полином третьей степени, и уравнение, получаемое при условии dp!d(p — 0, имеет три корня pi, р2, р3. При малых значениях а два из них, например P1 и р2, можно примерно приравнять двум корням (12.59) уравнения (12.58), и поскольку
Pi + р2 + Рз = 1/а, (12.62)
то P3 должен быть очень большим при малом а. Корни pt и р2 поэтому снова дают минимальный и максимальный параметры орбиты планеты. Вместо (12.60) имеем теперь
dp/d<p = db [ а (р Pi) (р р2) (р Рз)} '/l ~
= ± [(р—Pi) (P2—р) 11 — a (P1 + P2)} {1 — ар/[ 1 —а(рх + р2)]}], (12.63)
где использовано уравнение
ар3 = 1-а (P1 + р2),
вытекающее из (12.62). Поскольку ар и а (рх + р2) — малые величины, в первом приближении по а получим
= ± dpf[(p—-P1HPa—р)} 1 11 + а Cp1 + Рг)/^} {1 + ар/2},
а для ф2 — Фі ПРИ изменении р от P1 до р2 имеем
Pi
_ф1=1 1+ »<р»+р.)| f------------------------rfp-Jl+ ЛІЄі+??і)х
> 2 JJ {(р-р-Нй-р)}1'* I 2 I
Pt
PiHPa-Р)),;* + | I + ~(pi-Lр2) ^arcsin р
P— о (Рі + Рї)
2 (Pa — Pi)
P1
Следовательно, различие в ф между двумя последовательными перигелиями составляет
2(^-9,) = 2(1+ _»1Р.+Р0 j + -Н-(Рі + Рі))я =
= 2л{ 1+ + (р, + р,)); (12.64)
т. е. отличается от величины 2л, полученной из (12.61), на разность
Дф ~ (Згта/2) (P1 + р2). (12.65)
Этот результат можно интерпретировать как смещение перигелия орбиты при каждом последовательном обороте планеты. Поскольку (12.65) дает очень малое значение смещения, то вместо рх и р2 можно рассматривать их приближенные значения (12.59). Тогда, используя (12.52), для Меркурия получим смещение перигелия, равное 42,9" за столетие. Это значение хорошо согласуется с данными наблюдений, если из них вычесть эффект, обязанный влиянию на орбиту Меркурия других планет [51]. Смещения перигелиев Венеры и Земли еще меньше, так что различие между экспериментальным и теоретическим значениями лежит в пределах экспериментальной погрешности [231. Сравнительно недавно наблюдения астероида Икар показали, что его движение подчиняется предсказаниям общей теории относительности с погрешностью 20% [228]. В литературе обсуждалась также возможная роль гравитационного квад-рупольного момента Солнца, вывод о существовании которого следовал из наблюдений видимой сплюснутости Солнца [59, 61]. Видимо, запуск искусственных планет (спутников Солнца) позволит в будущем провести решающие измерения этих эффектов.
Вместо формы Шварцшильда линейного элемента (11.83) мы могли бы использовать метрику (11.86), соответствующую изотропным координатам (11.85), или любую другую, например метрику Леметра (11.93), В этих координатах уравнения движения будут выглядеть несколько сложнее, но конечный резуль тат — значение ДЛЯ смещения перигелия, естественно, будет ТО же, ЧТО Yl в (12.65).
§ 12.3. Гравитационное отклонение света
Третий классический эйнштейновский эффект — отклонение луча света гравитационным полем Солнца. Поскольку это поле статично, траектория луча, в соответствии с выводами § 10.5, определяется принципом Ферма, т. е. уравнениями (10.145) и (10.146), которые в частном случае (12.36) принимают вид
D(3)(y~*V/c*) _¦dIwvH_____________________________________________1 ds^ ^Xх .г_1 д% (12.66)
do da 2 с*3 d.vu
где
Xti — dx^/do', с* = с (I — ot/V)1/*; do = ^ivdx^ dxv. (12.67)
354
Как її в предыдущем параграфе, найдем, что
0 = я/2; г ф/с* — С (12.68)
являются интегралами уравнения (12.66) при ja = 2,3. Далее, из (12.67),
(12.36) и (12.68) получим
г2/ (I — а/г) + г2ф2 = г2/(1 — а /г) —а/г)/г2 = I. (12.69)
Вводя р= Mr в качестве новой переменной в (12.69), имеем г = Clrjdo = (dr/dy) (dy/do) = —(Up2) (dp/dq>) Ce* p2 = —Ce (I — ар)1/2(dp/dq>), (dp/dcp)2= I Ic2Ci—p2-f-ар3. == I/A2—р2 + ар3, (12.70)
где положили А = сС.
Теперь рассмотрим луч света, движущийся из бесконечности (р = 0) вдоль направления ф = 0. Пренебрегая в (12.70) малой величиной ар3, легко интегрируем это уравнение. Получаем
р
ср = J Adp {1—(Ар)2}-1/2== arcsin (Ар), о
т. е.
р — (1/А) sin <р, г = A/sin ф. (12.71)
Если изобразить полученную траекторию на евклидовой плоскости, где координаты риф имеют смысл обычных полярных координат, то (12.71) будет представлять собой прямую линию, отстоящую от центра г = 0 на расстояние А