Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 12.5. Космологические модели
Давно известно [189, 223, 224], что теория гравитации Ньютона
встречается с принципиальными трудностями при попытках объяснения структуры Вселенной в целом. Поскольку общая теория относительности, как ожидалось, должна приводить к результатам, существенно отличающимся от выводов теории Ньютона именно на космологических расстояниях, то совершенно естественно исследовать все новые возможности, которые открывает в космологии общерелятивистская теория. Эта сторона теории впервые была исследована Эйнштейном [76,79] сразу же после установления основных уравнений теории, и с тех пор релятивистская космология стала предметом исследования многих авторов. Мы не будем пытаться дать детальный обзор этих исследований, а сосредоточим внимание на анализе классических космологических моделей, предложенных Эйнштейном [76], де Ситтером [233, 234] и А. А. Фридманом [102].
Все эти модели основаны на предположении, что пространство—время Вселенной с глобальной точки зрения однородно и изотропно. Конечно, материя распределена не однородно: она в основном заключена в звездах, которые имеют тенденцию образовывать галактики. Однако во всей области пространства, которая доступна наблюдениям в современные телескопы, все эти скопления материи распределены по пространству довольно равномерно, поэтому самое простое предположение о материи Вселенной как об однородно распределенной идеальной жидкости оказывается в то же время и хорошим отправным пунктом для приближения к действительности. В моделях Эйнштейна и де Ситтера Вселенная, кроме того, считается статической системой, т. е. возможно введение сопутствующей системы координат
361
; ’¦ = (r, 0, ф, ct), в которой линейный элемент имеет статическую и сферически симметричную форму (11.63)
ds2 = а (г) dr2 + г2 (dQ2 + sin2 0 ^Ф2) — b (r) с2 (12.110)
где а и 6 — функции только от г. С учетом принятой однородности Вселенной
можно говорить, что любая точка пространства может быть взята в качестве
начала г = 0 пространственной системы координат.
о
Функции а (г) и 6 (г) связаны с собственной плотностью массы р.0 и собственным давлением р уравнениями (11.100) и (11.98) для идеальной жидкости
dpldr+ ((X0C2 + р) 6726 = 0; (12.111)
b'Jabr—(1/г2) (1 — 1 /а) + А = хр; (12.112а)
а' /а2г + (I/г2) (1 — 1/а) — A = щ/с2. (12. И 26)
Здесь р и ?i° — постоянные величины вследствие предположения об однородности пространства. Будем искать возможные регулярные решения уравнений.
Поскольку dp/dr = 0, (12.111) сводится к уравнению
(|>с2 + р)б' = о, (12.113)
из которого следует, что либо
Ь’ =0, (12.114)
либо
+ р = 0. (12.115)
Эти альтернативные условия приводят соответственно к решениям Эйнштейна и де Ситтера [258].
§ 12.6. Вселенная Эйнштейна
Условие (12.114) требует, чтобы величина b была постоянной и при надлежащем выборе временной координаты t была равна
6=1. (12.116)
Подставляя (12.114) в (12.112 а) и решая это уравнение относительно
а, получаем
а = 1/[1 — (А —хр) г2] = 1/(1 -г№), (12.117)
где введена новая константа R с помощью соотношения
1/Я* = ?„—ир. (12.118)
Далее, учитывая (12.117) и (12.112 б), получаем
А = >с (|х°с2 + Зр)/2, (12.119)
откуда следует соотношение
I/JR2 = к (р° с2 + р)/2. (12.120)
о
Плотность а0 существенно положительна, и даже допуская, что силы на-
4 ~ о
тяжения в жидкости стремятся к отрицательному значению р, при разумных свойствах материи модуль р не должен превышать ijlV. Следовательно, константы К и І/R2 должны быть также положительны, a R будет реальной
длиной.
362
Глава
10
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ НА ФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 10.1. Фундаментальные уравнения механики точки
Теперь с помощью формализма тензорного исчисления и принципа эквивалентности, сформулированного в § 9.6, можно однозначно обобщить все физические законы СТО. Поскольку мы полагаем, что тензорные уравнения СТО выполняются в локальной инерциальной системе с локальными лоренцевыми пространственно-временными координатами, то проблема отыскания фундаментальных уравнений физики (например, механики и электродинамики) в присутствии гравитационных полей сводится к чисто геометрической задаче в 4-пространстве.
Рассмотрим сначала движение частицы с постоянной собственной массой т0 в заданном внешнем гравитационном поле под действием негравитацион
ной 4-силы Fi. Это означает, что мы пренебрегаем влиянием (обычно малым
собственного гравитационного поля частицы и что gih можно рассматривать как известную функцию от координат Xі. Кроме того, поскольку т0 считается постоянной, F1 удовлетворяет ковариантному уравнению
FiUt = 0, (10.1)
соответствующему соотношению (4.57) СТО. Здесь
Ui = dx‘/dx (10.2)
— 4-скорость частицы, а т — собственное время.
Тогда мировая линия частицы описывается ковариантным уравнением
DPiIdx = Fi. (10.3)
Здесь
Pi = Tti0Ui; Pl = mQUl (ТО.4)
— 4-импульс, a DPiIdx — абсолютная производная (9.133) при CLi = Pi и