Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мёллер К. -> "Теория относительности" -> 177

Теория относительности - Мёллер К.

Мёллер К. Теория относительности — М.: Атомиздат, 1975. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 198 >> Следующая


Х = т.

Поскольку Pi пропорционален Ui, DPiIdx с учетом (9.78) приводится к виду

DPiIdx = dPjdx-(112) Pl(Tliih + Th, и) Uk =

— dPJdx—(1/2)ьикР1. (10.5)

Из (10.4) н (9.40) следует, что Pi удовлетворяет соотношению

Р. Pt=—ml с2. (10.6)

В локально лоренцевой системе координат уравнение (10.3) совпадает с частнорелятивистским уравнением (4.55) в соответствии с принципом эквивалентности.

В §9.16 было показано, что любое векторное соотношение эквивалентно

соответствующему соотношению между сопряженными стандартными векто-

263
евклидовом пространстве (которое, конечно, не имеет ничего общего с четырехмерным пространственно-временным континуумом). В самом деле, положив

х°=#(1— г№)1/2; (12.130)

X1 = X — г sin 0 cos ф;'

X2 = Ij-rsinO sintp; (12.131)

д;3 = 2 ^ r c0S 0;

получим

(JC0)2 + (х1)2 -ь (х2)2 + (х*У =R2, (12.132)

и линейный элемент (12.129) в этом случае принимает вид

do2 = (dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2. (12.133)

Форм-инвариантность (12.132) и (12.133) относительно произвольных вращений в R4 иллюстрирует однородный и изотропный характер трехмерного пространства (12.132) постоянной кривизны К = MR2. Следовательно, физическое пространство в рамках модели Эйнштейна является замкнутым и конечным, но не ограниченным.

Вводя полярные координаты гр, 9, ср на сфере (12.132)

X0 = R cos г|э; Г = Rsln г}*;

X1 = ^sirriJ)sinBcostp; X2 = /?sini|)sin0sintp; (12.134)

X3 = R sin гр cos 0,

линейный элемент (12.129) или (12.193) с (12.132) преобразуем к виду

do2 = R2 (dty2 + sin2 г|) d02 -f- sin2 rjj sin2 0 dtp2). (12.135)

Каждой точке на гиперсфере соответствует свой набор (ф, 9, <р) в интервале

О ^ гр < я, О ^ 9 <; л, О ^ ф < 2я. (12.136)

Рассмотрим сферу г = R sin гр = const с центром в 3-пространстве (12.129), (12.135). Если в (12.135) положим dQ = dq> = О и проинтегрируем, получим стандартную длину а ее радиуса. Итак,

о = Яф. (12.137)

Расстояние до противоположной точки г|) = я равно

L = nR, (12.138)

а полное расстояние по большому кругу замкнутой модели Эйнштейна есть 2яR. Детерминант у = IytivI, соответствующий линейному элементу (12.135), равен у = Rts sin4 Ipsin2 0, а полный объем и собственная масса Вселенной, если учесть (10.238), соответственно равны

П П 2л

V = J/?3sin2г[зsin0dtp — 2niR3; (12.139)

о о о

Mo = yfl V = 2я2 [1°. (12.140)

Из оценки величины левой части (11.43), принимая во внимание среднее значение L/2 = nR/2, получим

M%c2l(bnLl2) = « 1, (12.141)

если, кроме того, учтем (12.121) и (12.123). Соотношение (12.141) согласуется с (11.43), т. е. тем самым подтверждаются рассуждения § 11.3 о природе центробежных и кориолисовых сил.

364
Поскольку система координат S, соответствующая линейному элементу (12.І25), есть статическая сопутствующая гауссова система, в которой

= (12.142)

для частоты света, излученного источником, неподвижным относительно S, из (10.209), (10.212) и (10.220) получим

v = v, Av0/v0 = Avo/vo = 0. (12.143)

Таким образом, кроме малого эффекта Доплера, обязанного собственным движениям удаленных небесных тел, мы не должны ожидать какого-либо иного систематического сдвига спектральных линий от этих тел. В действительности же, из работ Хаббла [116], Хаббла и Хьюмасона [118] следует наличие вполне определенного красного смещения спектральных линий, причем

оно возрастает линейно с расстоянием. Это значит, что космологическая

модель Эйнштейна, несмотря на ряд ее положительных особенностей, дает лишь приближенное описание реальной Вселенной.

Введем новую переменную г' преобразованием

г = ґ, (12.144)

тогда линейный элемент (12.129) можно привести к изотропному виду, соответствующему (11.86) решению Шварцшильда. Опуская штрихи, т. е. подставляя в- (12.129) выражение

r->r{l+r2/4/?2}-\ е->0, ф->ф, (12.145)

получаем

^ga .-- dr2Jr г2 (dQ2 + sin3 Ocftp2) _dx2+dy2 + dz2 (12 146)

(1+г2/4 R2)2 (l+r2/4R2)2 ’ '

где (X, у, z) связаны с новыми переменными (г, 0, ф) уравнениями вида (12.131).

Далее, подставляя r->Rr, x-+-Rx, у -у Ry, z-^ Rz, приводим линейный

элемент к виду

dc2_. П2+ ^2 (<іва +sjHa Є <Іф2) _ п2 dx2+dy*+dz2 ,J2 J4-..

(1+г*/4)3 (1+^/4)2

Уравнения (12.129) и (12.133) вместе с (12.132), (12.135) и (12.146) являются различными формами линейного элемента в пространстве постоянной кривизны IlR2. Для R оо они включают и случай евклидова пространства. Однако они не исчерпывают возможности описания однородной и изотропной Вселенной. Она может быть описана также пространством постоянной отрицательной кривизны К = —IlR2. Метрику такого пространства можно получить из (12.129) и (12.146) заменой R2-+- —R27 а из (12.135) — заменой тригонометрических функций cos ij?, sin ij) соответствующими гиперболическими функциями. В этом случае переменная гр пробегает все значения в интервале 0 ^ TjJ < оо, т. е. пространство постоянной отрицательной кривизны является открытым, в противоположность закрытому сферическому пространству.

Линейный элемент пространства постоянной кривизны можно записать в обобщенном виде для (12.146) и (12.147) соответственно
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 198 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed