Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
e\l) e\k) — e\i) eil) — б*. (9.31)
Совокупность векторов e\k) со свойствами (9.31) называется ортогональной тетрадой.
Из (9.20) видно, что норма вектора, определяемая в мнимом представлении формулой (4.25), в вещественном представлении принимает вид
a2 = at а1, (9.32)
а поскольку данное выражение инвариантно при всех координатных преобразованиях, оно справедливо и в криволинейных координатах. В результате из (9Л8), (9.15) и (9Л1) получим
Ui а 1 = а\ ат at ат — S1m Cil ат = аг а1. (9.33)
Следовательно, формулу (9.32) можно принять в качестве определения нормы вектора и в общем римановом пространстве. В соответствии с (9.16) и (9.17) выражение (9.32) можно представить в различных формах:
а2 = flj аг = gih а1 ak = g^ Ui аА. (9.34)
Аналогично скалярное произведение двух векторов а и Ь определяется инвариантом
а і Ь1 = gih а1 Ьк = а} 6, = gik U1 bh. (9.35)
§ 9.3. Тензорная алгебра
Теперь обобщение тензорного исчисления, развитого в § 4.7—4.12 для
декартовой системы координат, на общие криволинейные координаты рима-
нова пространства очевидно. Тензором ранга п в 4-пространстве называется величина с 4п компонентами, преобразующаяся по каждому индексу как век-
217
тор, т. е. в соответствии с (9.15) для контравариантных индексов или по (9.18) —для ковариантных индексов. Связь между ковариантными и контравариантными компонентами тензора осуществляется с помощью общих правил
(9.10) и (9.17) поднятия и опускания индексов.
Следовательно, формулы преобразования для ковариантных и контравариантных компонент тензора ранга 2 имеют вид
а связь между ковариантными и контравариантными компонентами в каждой системе координат определяется соотношениями
Учитывая (9.11) и (9.12), видим, что соотношения (9.30) — (9.38) совместны. Кроме ковариантных и контравариантных компонент тензора, можно ввести также и смешанные компоненты:
инвариантны. Вследствие (9.38) и (9.39), соотношения (9.41) эквивалентны следующим:
Из сравнения (9.12) с (9.37) видно, что величины gik сами являются ковариантными компонентами симметрического тензора ранга 2, так называемого метрического тензора. Кроме того, из (9.7) следует, что смешанные компоненты
ные компоненты соответствуют величинам gik, определяемым формулой (9.6).
Теперь, как и в случае декартовых координат, рассмотренном § в 4.9, образуем новые тензоры с помощью операций сложения, прямого умножения и свертки. При сложении двух тензоров ранга п получим новый тензор того же ранга, а при умножении тензоров рангов п и т получим тензор ранга (я + гп). Однако следует заметить, что эти операции имеют смысл только в том случае, если оба тензора берутся в одной точке 4-пространства. Наконец, операция свертки, которая в случае криволинейных координат заключается в приравнивании верхних и нижних индексов с последующим суммированием, уменьшает ранг тензора на две единицы. Свертка тензора ранга 2 дает тензор нулевого ранга, т. е. инвариант
(9.36)
(9.37)
Iih = Sngkmtlm', \
(9.38)
(9.39)
t-k = glltih = gkitll,\
(9.40)
fik = ±
(9.41)
(9.42)
Таким образом, смешанные компоненты и симметрического тензора равны и могут быть обозначены просто через ti-
этого тензора gi определяются символом Кронекера fif, а его контравариант-
(9.43)
218
который с помощью (9.39) можно представить в различных формах:
ii=giktki = giktih = &. (9.44)
Пример комбинирования операций прямого умножения и свертки дает соотношение (9.35).
§ 9.4. Псевдотензоры. Дуальные тензоры Пусть а = [а*! и а — Jafj — определители матриц коэффициентов преоб-
)
чим
разований af и ак,. Тогда по правилу умножения определителей из (9.11) полу-
а из (9.12)
т. е.
aa = 1, (9.45)
U' = і gik I = a • g-a = a‘-g = g/сг,
У—g' = |a| /^ = (1/1^1) Vz^g, (9.46)
где |a| и [a I — абсолютные значения определителей а п а.
Теперь псевдотензор определяется как величина, компоненты которой преобразуются как компоненты тензора и умножаются при этом на знак a/|aj—a/|ct| определителя преобразования. Если а, а следовательно, и « положительны, то псевдотензор преобразуется как тензор того же ранга. Из
(9.45) следует (см. § 4.11), что величина Athlm, компоненты которой в каждой системе координат равны символу Леви-Чивита еШт, преобразуется по формуле
AW — aa; a I a \ Лыи- (9.47)
Следовательно, в соответствии с (9.46) величины
Єікіщ—~\F ~~ g ^iklm (9.48)
являются ковариантными компонентами антисимметрического псевдотензора раигз 4. Поскольку в соответствии с (3.7) определитель |g‘*| матрицы gik равен g_1, для контравариантных компонент псевдотензора (9.48) имеем
eiklm = gir gks git gmu (_g)i/2 ^rslu ^ [y_gjg] Qiklntf
T. Є.
<?'¦«*»=—(—g)~ 1Z2 ъШт. (9.49)
Как и в § 4.12, мы можем теперь, используя псевдотензор (9.48), с каждым антисимметрическим тензором ранга 4 связать дуальный псевдотензор ранга (4 — п). Следовательно, если Fik — контравариантные компоненты антисимметрического тензора, то ковариантные и контравариантные компоненты дуального псевдотензора определяются соотношениями
