Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8.16. Жесткие системы отсчета, движущиеся в направлении оси X
Если начало О системы (Xі) движется в направлении оси X системы (Xi). коэффициенты aik определяются формулами (4.157), (4.150) и преобразования (8.152) сводятся к соотношениям
і
X=C ^sb Qdt +х ch 0 (/); о
Y = у; Z = z; (8.160)
t
T = ^ ch Odt + х sh (0 (t))!c,
о
которые также получаются из (4.158) с учетом (8.151). Используя (4.157),. (4.149), для вектора (8.155) получаем выражение
g = (ё, 0, 0); g (t) = с dBidt. (8.161)
206
Тогда (8.154) примет вид
ds2 = dx2 + dy2 -}- dz2 — c2dt2 (I + gx/c2)2. (8.162)
В исследуемом случае гравитационное поле параллельно оси х. Условия (8.52) выполняются везде, за исключением плоскости X= — c2/g, где = 0. В дальнейшем будем рассматривать явления лишь в области I + gxl с2 > 0.
В частности, если движение начала О гиперболическое с постоянным ускорением g, то в соответствии с (4.162) имеем
6 (t) = gtlc, (8.163)
т. е.
g (t) = с dQldt = g = const.
В этом случае гравитационное поле статическое, а гравитационный потенциал равен
X = — (с2/2) Igii + I) = gx (I + gxl2 с2). (8.164)
Тогда преобразования (8.160) принимают вид
X = [C1Ig) (ch gtlc— 1) + х ch gt/c;'
Y = у; Z = z; (8.165)
T = (cIg) sh gtlc + х sh [gtlc)!с. .
Исключая t, получаем
X= (cVg)Kd +^f+^rn1'2-1]; I (8l66)
Y = y; Z = z. I
Отсюда видно, что каждая точка данной системы отсчета с постоянными значениями х, у, z относительно системы I совершает гиперболическое движение в направлении оси X, начинающееся из точки X = х, Y = у, Z — 2, в момент времени T = Oc нулевой скоростью. Ускорение этого движения равно
У — g>'d + gxic*) (8.167)
(см. § 3.4), а скорость в момент времени T определяется с учетом (8.165) формулой
v=-dXjdT = gTj{(l +gxlс2)2 ^g2Ti/с}'Г~ = cth (gt/c). (8.168)
Следовательно, скорость точек отсчета данной системы относительно / зависит от х, и с точки зрения наблюдателя в / система отсчета R, соответствующая системе координат (Xі), не будет жесткой. Расстояние между двумя точками отсчета (х, у, г) и (х + dx, у, г), измеренное наблюдателем в /, в соответствии с (8.166) и (8.168) равно
dX = — --------1+ел?/с-—-T77- ах = —= /1— V2Jc2 dx, (8.169)
{(1 +дх!с2)*+ё*Т2/с*}1*2 ch (gtjc)
где V=V (T) — скорость системы R относительно I в рассматриваемом месте. Таким образом, с точки зрения наблюдателя в /, каждый участок системы R сокращается в соответствии с формулой Лоренца.
Для малых значений t и х, когда можно пренебречь величинами второго порядка малости и выше по gx/c2 и gtlc, система отсчета R совпадает с системой отсчета, рассмотренной в конце § 8.14.
Рассмотрим теперь движение свободной частицы в гравитационном поле системы (х'). Мировая линия такой частицы определяется из уравнений (8.96) Cgik в форме (8.162). Тогда при і = 1, 2, 3 из (8.96) имеем
d2xjdx2=—(I+gxjc2) g (dtjdx)2; d2 y/dx2 = d2zldx2 = 0. (8.170)
Если частица начинает свое движение из точки на оси х с нулевой начальной скоростью, то последнее уравнение в (8;170) дает у = z = 0.
207
Из (8.115) и (8.164) получаем следующее соотношение между собственным временем частицы и временной переменной t системы (х‘):
dx = dtY{(l jTgxfc2)2 — U2Ic2), (8.171)
где
и = I dxldt I
¦—скорость частицы. Соотношение (8.171) эквивалентно последнему уравнению (8.96). Используя в качестве независимой переменной t вместо г, из (8.170) получаем
&х zgjc* ( dx V+ g^+gxjc2) = 0> (8.172)
dp I 4-gx/c’2 v dt Решение этого уравнения с начальными условиями
х = х0; dxldt — 0 при t = t0 (8.172')
следующее:
к = —/(1 + -!--------1І. (8.173)
g \ С* J ell g (t—t0)lc J
Скорость частицы в момент времени і равна
dx =-с(1 + (8.174)
dt V с2 I ch2 g (t — to)/с
С увеличением t скорость сначала тоже увеличивается, достигая максимума ^макс — с (I + gx0/c2)/2, а затем снова стремится к нулю при t оо. Если X0 > C2Ig, скорость частицы больше с. Однако и всегда меньше скорости света, которая, в соответствии с (8.72) и (8.162), равна w = c* —с (I + gx/c2).
Подставляя выражения (8.173) и (8.174) для х и и в уравнение (8.171) п интегрируя его по координатному времени t, получаем
1+?т) ( » и м- <8Л75>
с2 J J ch* g(t—lo)/c \ g с J
Наконец, если начало системы (х1) движется с постоянной скоростью v относительно / в направлении оси X, то = 0 и вектор в (8.155) тоже равен нулю. Таким образом, в системе R гравитационное поле отсутствует, что и должно быть, поскольку эта система в данном случае является инерциальной системой, движущейся с постоянной скоростью V. Кроме того, поскольку Ui постоянная и fi (t) = Ui t, преобразования (8.152) совпадают в рассматриваемом случае со специальными преобразованиями Лоренца.
§ 8.17. Парадокс часов
Теперь мы в состоянии дать полное решение парадокса часов, уже упоминавшегося в § 2.6 и сыгравшего важную роль в первых обсуждениях логических основ теории относительности [65, 77, 132, 135, 148, 166].
Рассмотрим два экземпляра стандартных часов C1 и C2, покоящихся в начале O1 инерциальной системы S1 с пространственно-временными координатами (X, Y, Z, Т) (рис. 18). В момент времени T = O часы C2 начинают ускоряться в направлении оси X под действием постоянной силы F. Когда часы C2 достигают точки А, они имеют скорость и. После этого действие силы F прекращается, и часы движутся прямолинейно с постоянной скоростью V, пока не достигнут точки В. Здесь на них опять начинает действовать сила, равная по величине силе F, но противоположная по направлению, в результате чего часы C2 прибывают в точку С, обладая нулевой скоростью, и ускоряются об-
