Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Однако, в соответствии с принципом эквивалентности, нет существенной разницы между устранимыми и неустранимыми полями; оба типа полей должны подчиняться одинаковым фундаментальным законам. Допустим поэтому, что поля, обусловленные наличием больших масс (например, Земли или Солнца), описываются в 4-пространстве метрическим тензором gih так же, как и устранимые искусственно созданные поля. В частности, предположим, что и мировые линии свободных (т. е. свободно падающих) частиц и световых лучей, движущихся в неустранимых гравитационных полях, являются геодезическими в 4-пространстве, которые определяются теми же уравнениями (8.96) и (8.100), как и в случае устранимых полей. Единственное отличие тогда будет в том, что неустранимые поля нельзя полностью исключить с помощью преобразований пространственно-временных координат, т. е. As2 не может быть приведен к виду (9.2) одновременно во всех точках 4-пространства.
В этом случае 4-пространство является искривленным с произвольной римановой геометрией.
Однако, как мы увидим в § 9.6, существует бесконечное множество способов для выбора так называемой геодезической системы координат (я1'), для которой в данной точке 4-пространства первые производные DgikIdx1 метрического тензора равны нулю, а значения gik равны Геометрически это означает, что в бесконечно малой окрестности каждой точки пространство можно считать плоским по аналогии с двухмерным случаем, когда кривую поверхность в малой окрестности рассматриваемой точки можно замелить касательной плоскостью. Такие системы пространственно-временных координат (х‘) часто называют локально лоренцевыми, а соответствующие системы отсчета — локальными инерциальными системами, так как в случае неустранимых гравитационных полей они играют в определенных пределах ту же роль, что и инерциальные системы в случае устранимых полей. Поэтому при любом выборе пространственно-временных координат (Xі), т. е. при любом упорядочи-
213
вании событий в физическом пространстве, величины gik всегда могут быть определены экспериментально с помощью методов, рассмотренных в § 8.8.
В соответствии с общим принципом относительности, законы природы должны быть выражены в виде форм-инвариантных уравнений. Следовательно, если какой-либо закон описывается уравнением в форме
F (А, В,..., д Ajdxi, ОВ/дх1,.. .) = 0, (9.3)
где А, В,... —физические величины, то в другой произвольной координатной системе (xf‘) мы имеем такое же функциональное соотношение между физическими величинами, т. е.
F (А', В',... dA'/dx'1, дВ'Idxfi,.. .) = 0. (9.3')
Единственное отличие от случая, рассмотренного в § 4.3, заключается в том, что среди физических величин А, В, ..., входящих в это уравнение, теперь фигурируют и гравитационные величины g^-
В области, где пространство — время почти плоское (если ограничиться лоренцевой системой координат), метрический тензор gik представляет собой постоянный тензор Минковского Tjjf,, а соотношения (9.3') и (9.3) сводятся к соотношениям (4.21), (4.2Г). Следовательно, специальный принцип относительности является частным случаем общего принципа относительности.
В СТО ковариантность законов природы при преобразованиях Лоренца очень изящно выражается с помощью четырехмерного тензорного исчисления. Чтобы получить аналогичное представление законов природы в ОТО, мы должны сделать обобщение тензорного исчисления, развитого в гл. 4 для псевдоде-картовых систем координат.
В случае устранимых гравитационных полей такое обобщение представляет собой довольно тривиальное распространение понятий вектора и тензора на общие криволинейные системы координат, сама же геометрия пространства — времени остается такой же, как и в СТО. Однако в общем случае неустранимых полей сама структура пространства — времени уже другая, и необходимо развитие тензорного исчисления уже в римановом пространстве. Формально различие между этими двумя случаями не очень велико, и, как мы увидим, большая часть тензорных соотношений, справедливых для криволинейных координат в плоском пространстве, может быть использована и в произвольном кривом пространстве.
§ 9.2. Контравариантные и ковариантные компоненты 4-вектора
Пусть (Xі) — произвольная система криволинейных координат в 4-пространстве. Тогда геометрия этого пространства будет полностью определена, если заданы компоненты glft метрического тензора как функции пространственно-временных координат. Предположим, что в каждой точке gih удовлетворяет соотношениям (8.52). Это означает, что определитель
^ll §12 §13 §14
§21 §Ї2 §23 §2І §31 §32 §33 §34, §41 §42 §43 §44
(9.4)
отрицателен. Пусть Aih — алгебраическое дополнение элемента gih і-й строки и &-го столбца. Тогда по известной формуле теории определителей имеем
-I1 gik Лщ
g-
к
(нет суммирования по і) и ^Я.-гЛг —0, i?=k.
(9.5)
214
Определяя теперь симметричную матрицу элементов gik условием
gik = AuJg = gkir (9.6)
в соответствии с (9.6) имеем
giighl ^gngih = (9-7)
где
ь {1 при і — k
I-=Sife = J0 при