Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
t1 = !v/c\ (8.193)
Этот удивительный результат обусловлен влиянием на ход часов C1 гравитационного скалярного потенциала %= —gx (1—gx!2c2), который при g->. Q0 становится бесконечным. Таким образом, в пределе при g-*- оо из (8.188) — (8.193) и (8.184) — (8.187) получаем
Дг, - 2 {ДТ (I — V2Ic2) + AnTviIc2} = 2ДТ; ]
1 Х '_____ (8.194)
Дт2 = 2т5 = 2Д'Т VI — V0-Ie2, J
т. е. то же, что и в (8.185). Этот результат, представляющий собой решение парадокса часов, не удивителен, поскольку собственное время — инвариант, имеющий одно и то же значение в любой системе координат.
В приведенном здесь решении парадокса часов содержится еще один парадокс [137]. Рассмотрим скорость часов Ci относительно системы S3 в момент времени t = At' = т'г. Полагая в (8.174) хп — 0 и t = /0 ~Ь T2, для скорости часов C1 как раз перед этим моментом, получаем выражение
U-— dxjct — —с (sh gT^/c)/ch2 gx^/c— —v (I — t/2/c2)*/2. (8-
С другой стороны, сразу же после этого момента времени система S2 становится инерциальной системой, и скорость часов C1 будет иметь величину
и+ =—и. (8.196)
Сравнивая (8.195) и (8.196), видим, что в момент исчезновения гравитационного поля скорость часов Ci относительно S2 резко меняется. Эффект точно такой, как будто часы C1 получили импульс в направленни отрицательной оси. Полное решение этого парадокса дано в § 10.3.
Наконец, рассмотрим более простой пример аналогичного явления, иллюстрирующий влияние гравитационного векторного потенциала на ход движущихся часов. Пусть часы C2 под действием центральной силы F совершают в инерциальной системе S1 равномерное движение по окружности. Если радиус окружности R, а постоянная угловая скоростьгсо, то скорость часов равна Ra), а приращение их собственного времени т2 за один оборот, в соответствии с формулой (2.38), равно
T2 = T У1 —Г<2(а21с‘2 = (2я/ю) і 'I-RWIc2. (8.197)
Соответствующее приращение собственного времени часов C1, покоящихся на окружности вращения, имеет величину
T1 = 7’ = 2 л/со. (8.198)
211
Рассмотрим теперь этот же процесс с точки зрения наблюдателя во вращающейся системе отсчета S2 (§ 8.9). В этой системе часы C2 покоятся в точке (г— R, $ — 0), а часы C1 вращаются с угловой скоростью dft/dt =-—<о по окружности радиуса г = R. Часы C1 свободно падают под действием гравитационного поля с потенциалами (8.80) и (8.113):
г = — rV/2; уд = (0, шг*/с /1— г2о>2/с2, О). (8.199)
Легко видеть, что г = const и dft/dt = — о есть решение уравнений движения (8.96) с gih в форме (8.79). Часы C2 все время остаются в покое, так как
гравитационная сила уравновешивается силой F. За время t = 2п/о собственное время покоящихся часов T9 получит в соответствии с формулой (8.116) приращение
т2 = (2я/со) У1 +2х/с2 = (2л/со) ]/1 —г2и>21с2, (8.200)
т. е. такое же, как и в (8.197).
Чтобы найти соответствующее приращение собственного времени часов Cj, воспользуемся общей формулой (8.114). Поскольку и= dx4di = (0,
— со, 0), из (8.80) получим и2 = do^/df* = ywv(dx4dt) (dxv/dt) = Y22®2 = = r2co2/(I—r2d)2/c2). Кроме того, с учетом (8.199) имеем у „и* = = — rW/c Y1 —г2ы21с\
В результате из (8.114) находим, что
х1 = (2я/со) {(]/1—г2®2/с2-f- /'2со2/с2 У 1—г2о)2/с2)2 —
— rW/c2(l— rW/c2)}1/2 =2я/о>. (8.201)
Таким образом, эффекты влияния гравитационного поля и скорости часов C1 на собственное время T1, описываемые формулой (8.114), взаимно компенсируются и для T1 и т2 получаем те же выражения, что и раньше.
Однако физическая интерпретация этого эффекта для каждого из рассмотренных двух случаев совершенно различна. В системе S1 эффект объясняется исключительно влиянием скорости частицы, в то время как в системе S2 данное явление объясняется совместным действием гравитационного поля и движения.
Вычисление приращений собственного времени T1 И T2 можно провести также и во вращающейся системе с метрическим тензором (8.122), (8.123). Результат, конечно, будет тем же самым, что и в (8.200), (8.201), однако эффекты влияния на величину T1 гравитационных потенциалов и движения, компенсирующих друг друга, уже не такие, как в S2.
Глава
9
НЕУСТРАНИМЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ОБЩЕГО ТИПА
§ 9.1. Четырехмерная формулировка общего принципа относительности и принципа эквивалентности
В предыдущей главе мы рассматривали лишь такие гравитационные поля, которые можно было исключить преобразованием к лоренцевым координатам инерциальной системы / (см. § 8.7). Мы выяснили, что в произвольной системе координат (х[) действие гравитационного поля описывается метрическим тензором gih, определяющим линейный элемент в пространстве — времени:
= Sih dxldxk. (9.1)
Таким образом, устранимые гравитационные поля характеризуются тем свойством, что соответствующим выбором пространственно-временных координат интервал во всех точках 4-пространства может быть приведен к виду
rfs2 = nJfc dX'dX*. (9.2)
Другими словами, в этом случае пространство является плоским псевдоевкли-довым пространством.
