Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Если ввести новую систему координат с помощью преобразования
Xti = Xn(X1)4 (9.9)
то, как и в случае плоского пространства [см. (8.54) — (8.58)], получим
dx’1 —alkdxk = (dx'lIdxk) dxk', |
(9.10)
dx1 = ak dx‘k = (dx‘ldx'k) dx’k\ j
a*/ сxl = a{a* = 6JU (9.11)
ft* = Ccjarglm; I (9 |2)
gik = aA glm• j
Вследствие соотношений (9.10), (9.12)^выражение для интервала инвариантно:
ds2 = gik dx‘ dxk = g'ik dx'ldx‘k. (9.13)
Всегда можно выбрать такие преобразования (9.9), чтобы в данной точке 4-пространства тензор g[ h стал равным тензору Tiife Минковского. Однако в общем случае получить этот результат одновременно во всех точках нельзя, поскольку коэффициенты ос* не могут быть выбраны произвольным образом, а должны удовлетворять условиям интегрируемости:
даУдх1 = OaiiIdxk, (9.14)
вытекающим из определения а* в (9.10). Этого можно добиться лишь для случая плоского пространства, когда функции gik удовлетворяют специальным условиям (см. § 9.13).
В некоторой точке (Xі) вектор определяется как величина, которая в каждой системе координат имеет четыре компоненты а1 с тем же законом преобразования, что и дифференциалы координат в (9.10), т. е,
а'1 = а!ка\ (9.15)
Обратные преобразования с учетом (9.11) имеют вид
а1 = акак. (9.15')
Поскольку коэффициенты Ctft и являются функциями координат (Xі), формулы преобразований (9.15) и (9.15') имеют определенный смысл лишь в той
точке, где определен вектор а1.
В системах криволинейных координат у одного и того же вектора мы должны различать контравариантные компоненты а‘ с формулой преобразования
(9.15) и ковариантные компоненты, определяемые в каждой системе координат соотношениями
Af = gik ак- (9.16)
В соответствии с (9.7) обратные соотношения имеют вид
a1 = gikah. (9.17)
215
Операции (9.16) и (9.17) называются опусканием и поднятием индексов. В декартовой системе координат евклидова пространства gik = 8ik, и разницы
между ковариантными и контравариантными компонентами нет.
Из (9.12), (9.15) и (9.11) получаем следующие формулы преобразования для ковариантных компонент:
di = gik dk = а-а™ а * glm ап = «¦ 6,7 glm а'1 = а\ glm ап
или
о, —а і ah; (9.18)
а; = а fcik- (9.19)
В плоском (3 + 1)-пространстве можно использовать псевдодекартовы координаты, тогда соотношения между ковариантными и контравариантными компонентами вектора в этой системе принимают простой вид
CZi = = («з1, а2, а3, —а1) (9.20)
или а‘ = (а3, а2, а3, — а4) = r\ikah, т. е. в этом случае
if k = r\ih (9.21)
в соответствии с (9.7) и (8.41). Если бы в СТО мы использовали вещественное
представление векторов, то в гл. 4 следовало бы различать ковариантные и
контравариантные компоненты. Именно для того, чтобы избежать такого небольшого усложнения, и была введена мнимая временная компонента, вследствие чего пространство стало формально евклидовым. В любом случае легко перейти от мнимого к вещественному представлению. Необходимо лишь помнить, что контравариантные компоненты вектора в вещественном представлении получаются из компонент мнимого представления отбрасыванием множителя і V четвертой компоненты. Тогда ковариантные компоненты определяются из (9.20).
Если ввести четырехкомпонентную величину е;:
8,) = (1, I, I, -1), (9.22).
то соотношения (9.20) и (9.21) примут вид
a, = ZiSai-, a1 = E^ai;
.. Л (9.23)
Ilifc =Tllft = Ei) Offt,
где круглая скобка после индекса указывает на отсутствие суммирования по этому повторяющемуся индексу.
В вещественном представлении однородные преобразования Лоренца (4.3) являются линейными преобразованиями вида
х/? = Alxk; Xi = AikXk, (9.24)
где коэффициенты Ak удовлетворяют условиям ортогональности:
A11 Am 1Iift = Ціт> (9.25)
или
є і А\ Ak-Zi) б ih.
Последние уравнения вместе с (9.12) выражают тот факт, что при лоренцевых преобразованиях метрический тензор gik — Tjui плоского пространства не меняется. Кроме того, Ak и At связаны соотношениями (9.11):
AiA1k = AiAik = 6І. (9.1 Г)
Умножая последнее уравнение в (9.25) на A1mt с помощью (9.1 Г) получаем.
і*
8ш) А™ —
216
т. е.
4 = Si) eft) 4> 4 = е?) ей> Ai- (9.26)
Таким образом, преобразование Лоренца можно определить как линейное преобразование, в котором коэффициенты А* и соответствующие коэф-
фициенты обратного преобразования Л* связаны соотношением (9.26).
Как и в § 4.13, введем четыре взаимно ортогональных направляющих единичных вектора e\k) осей х‘ Три из них, соответствующие k = V = 1, 2, 3, пространственно подобны, а е(4) — времениподобный и равен ViIc, где Vі — 4-скорость системы S' относительно S. Тогда
е\ь) e<.i) ! = tIw; eU) =ViIc. (9.27)
Поскольку e(lk) = б*, из (9.15') имеем
Ak — At ещ = e\k)t 4 = ?(4) — V1Ic. (9.28)
Введем дополнительно векторы
е(к) і г= е,г) e\k), е\к) = Ek) ?<й) t. (9.29)
Тогда (9.27) можно переписать в виде
= (9.27')
Сравнивая это соотношение с (9.1Г) и учитывая (9.28), находим, что
4=4°. (9-30)
В ктоге (9.11') можно записать в форме
