Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(а х Ь)д = У у (а2IP — Cii Ъа, а3 b1—а1 Ir, а1 Ь2—а2 61);
1 (9 74")
(a х Ь)№= —г=г (а2 Ь3—а3Ь„, —а^ + а^Ь^ агЬ^—а2Ьг).
У Y
§ 9.5. Геодезические линии. Формулы Кристоффеяя
Как известно, геодезические линии определяются уравнением (8.30):
і-(***-тї=ттг??- <9-75>
dX \ аХ / 2 дх1 ак аК
где X — специальный инвариантный параметр. Уравнение (9.75) можно записать также в виде
d2 Xk і Qgjh__I dgki \ dxh dx1 _ q
lk dX2 ' V дх1 2 дх‘ ) dX dX
Умножая это уравнение на gmi и учитывая (9.7), получаем
d2 XmIdX2 у g'ni (OgikZdxi + OguIdxk-DgktJdxi) (IxhIdX dxl/dX = О
или
d2 XiIdX2 + Tikl (dx4dX) (dx4dX) = 0, (9.76)
где
Гм-g lTmfhi, J
Tiihl (OgikIdxi -г SgilI д\«-OghlIdxi)/2 ----gim TJ
Величины Tikh Ti. ы в (9.77) представляют собой трехиндексные символы Кристоффсля. Они удовлетворяют, очевидно, соотношениям
Til ¦= Tilk; Tit ы - Tii jh; OgiJdxi = Гг, kl + Г,г_ гг. (9.78)
222
Связь между T1kt и Tij hl такая же, как и между контравариантными и ковариантными компонентами тензора; но, как мы увидим далее, символы Кри-стоффеля преобразуются не как тензоры. Поскольку уравнения (9.75) или (9.76) представляют собой уравнения Эйлера, соответствующие инвариантному вариационному принципу (8.93), они должны выполняться в любой системе координат. Поэтому, дифференцируя формулы (9.10), получаем
dx1 -j dx'r _ (Iі Xі ~ j (IiXtr , даг dx'r dx's
d'h dK d'K1 Г dK- Bxrs dh d'h
^ak \ dx'k dx'1
-OtjrwrH-------U=ViV- (9-79)
dx'1 J dX dh
Здесь уравнения (9.76) использовались в системе координат (х,(). Подставляя (9.79) в (9.76), находим, что
, dc*-i , r>i i.r гЛ dx'k dx'1
а поскольку это уравнение должно выполняться при любых значениях переменных dx'kldh, то выражение внутри скобок, симметричное относительно к и /, должно равняться.нулю. Умножая полученное соотношение на aT и учитывая (9.11), приходим к формуле Кристоффеля:
Г^г = a‘r OocrJdx'1 -f Ct1r с4 ct\ Г^. (9.80)
При линейных (аффинных) преобразованиях, когда коэффициенты alk, аі — постоянные, первый член в правой части (9.80) равен нулю, и символы Кристоффеля преобразуются как компоненты тензора. При более общих преобразованиях это будет не так, поэтому Г*ь Гг_ ы называются аффинными тензорами.
Если gih — постоянные (например, в случае псевдодекартовых координат плоского пространства), символы Кристоффеля (9.77) равны нулю.
§ 9.6. Локальные пеевдодекартовы координаты и локальные инерциаяьные системы
В общем случае ввести систему координат, в которой компоненты метрического тензора были бы везде постоянными, нельзя, но, как мы далее увидим, такие системы всегда можно получить локально, т. е. в малой окрестности каждой точки 4-пространства. Выберем произвольную систему S координат (Xі) с метрическим тензором gik (х), н пусть X1p — координаты события Р. Рассмотрим совокупность четырех взаимноортогональных единичных векторов (тетрада) в точке Р. Пусть е\а) (а = 1, 2, 3, 4) — контравариантные компоненты а-го вектора тетрады. Один из этих векторов е\4) — времениподобный, а остальные три е\а) — пространственноподобны. Из (9.16) ковариантные компоненты векторов тетрады равно Є(п)і = gih^ta), где gik — gfh (P) — значения
компонент метрического тензора в точке Р. Ортонормированность векторов
тетрады выражается соотношениями
Р(а) "(6) I = Stk eU) ?(&) = Tlnb- (9.81)
Здесь
TIeb = 1Va6 = 6^6^, (9.82)
а еа — четырех компонентная величина (9.22). Вместе с векторами е\а) введем векторы
е{а) 1 = Ttfb e\b)=?a)e\a)\ е\а) =Еа)г{а) (9.83)
223
помощью которых соотношения (9.81) могут быть представлены в форме
«<„> ,ет‘ = е‘ю Cf’ -Si; е1”1'<•;'’>«¦. rf*. (9.84)
Пусть
е = \е{а)С\ (9.85)
— детерминант с элементом Є(а) в а-й строке и г-м столбце. Тогда из первого
уравнения (9.84) при a = b следует, что 1 равно алгебраическому дополнению элемента е(п) деленному на е [ср. с аналогичными уравнениями
(9.4) — (9.8)1. Поэтому
е(а) t e(fl) * - б?; е(а) f = gi!- е\а) eia) k = gK (9.86)
Кроме того, поскольку определитель j е\а) I равен —е, из (9.83) и второго уравнения (9.86) получим
= g; e = {-g)42. (9.87)
Во всех этих соотношениях метрический тензор берется в точке Р.
Данная тетрада е\а) (или в{а)) «генерирует» в точке P новую систему S (P) координат Xі с помощью следующих формул преобразования:
хі = е{1) [xk—xkp); (9.88)
X1— XiP -J- e‘(h) xk. (9.89)
Коэффициенты этих преобразований постоянные:
а), = BxiZdxk = e[l>; ak = Bxi I дхк — е\ (9.90)
Из первого уравнения (9.12) получаем следующее выражение для метрическо* го тензора в S:
Sih (%) ~ ?(‘) Slm М» (9.91)
причем в соответствии с (9.81) в точке P имеем
gik (P) = ?(<) Чк) Sm (р) = Ilife- (9-92)
Поэтому система S (P) координат х (отмеченная знаком ^) прямоугольна в точке Р, т. е. локально псевдодекартова в этой точке. В общем случае gik (Jc)1 определяемый формулой (9.91), удовлетворяет условиям (8.52) только внутри некоторой конечной области в окрестности точки Р. По причинам, уже упоминавшимся в § 8.7, ограничимся использованием координат Xі лишь внутри этой области.
