Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
приходят частицы из объемов 2 и 4, но зато равное их сумме число частиц
уходит в объем 1. В результате осуществления указанных обменов частицами
обеспечивается постоянство частиц во всех объемах.
Однако равновесное состояние по таким схемам не может быть осуществлено.
Принцип детального равновесия утверждает, что равновесие устанавливается
детально, т. е. между всеми парами элементов объема. Это означает, что
каждый элемент объема в единицу времени отдает в любой другой элемент
объема столько частиц, сколько из него получает. Поэтому единственно
возможной схемой обмена частицами между четырьмя элементами объема
является схема, изображенная на рис. 17. Интенсивность обмена между
каждой парой элементов объема, вообще говоря, различна.
Справедливость принципа детального равновесия обусловлена тем, что
состояние равновесия устанавливается в результате хаотичного характера
столкновений и беспорядочности движения молекул. Невозможность схем,
изображенных на рис. 16, следует из того, что они могут быть реализованы
лишь в результате определенной упорядоченности движения молекул и их
столкновений. Принцип детального равновесия справедлив не только для
столкновений. Он справедлив также и для всех других процессов в любых
системах, равновесное состояние которых устанавливается в результате
полной хаотичности процессов.
17. Схема обмена частицами, соответствующая принципу детального
равновесия
Пример 8.1. Найти число молекул кислорода 02, скорости которых заключены
в пределах от 195 до 205 м/с при 0°С. Масса кислорода 0,1 кг.
Поскольку интервал скоростей от 195 до 205 м/с достаточно мал, можно
воспользоваться теоремой о среднем и по формуле (8.16) написать:
Дп . ( т (837)
: 4п
2пкТ
где v = 200 м/с, dr = 10 м/с.
78 1. Статистический метод
Относительная молекулярная масса кислорода Мг = 32 и. следовательно,
масса молекулы т = 32 • 1,66 • 10-27 кг - = 5,31 • 10~26 кг. Молярная
масса кислорода М = 32 х х 10"3 кг/моль, поэтому в 0,1 кг кислорода
имеется п - [0,1/(32 • 10"3)] • 6,02 • 1023 = 1,88 • 1024 молекул. Далее
учтем, что поэтому
Ап = 4 ¦ 3,14
кТ = 1,38* 10~23-273 5,31 • 10-26 43/2
х ехр
6,28 • 3,77 ¦ 10"21 5,31 -10" 26 (200):
(200)21 Г21 J
Дж = 3,77-10'
(200)2 • 10 ¦ 1,88 • 1024 =
Дж,
2 • 3,77 • 10 = (2,2 • 1(Г6)3/2 ехр (-0,28) • 9,44 • Ю30 =
= 3,08 ехр (-0,28) ¦ 1022 = 2,3 • 1022.
§ 9 Распределение Больцмана
Обсуждаются особенности распределения Больцмана и его простейшие
применения. Анализируется связь распределений Больцмана и Максвелла.
Описывается экспериментальная проверка распределения Больцмана.
Независимость плотностей вероятности координат и скоростей частицы. Если
газ находится во внешнем потенциальном поле, то энергия частицы ?",
входящая в формулу (7.6), равна
е* = mv2/ 2 + U. (9.1)
Число состояний в элементе фазового пространства задается формулой (8.1).
Поэтому вместо формулы (8.2) получаем
(х, у, z, р" рг рх) = - -т х
х ехр
N
А
(2кк)3
mv
+ U
dx dy dz dpx dpy dpz.
(9.2)
Очевидно, что плотности вероятности координат частицы и ее импульсов
являются независимыми, поэтому
df(x, у, z. Рх, pr рх) = д#1(х, у, z) df2 (рх, Ру, pz), (9.3) где
dft (х, у, z) = А1 ехр [ - |ЗН (х, у, -)] dx d)> dz,
(Px, Py, Pz) = A2 exp (- tynv2/2) dpx dpy dpz.
Постоянные Ax и Л2 находятся, как обычно, из условия нормировки. Формула
для d@2 {рх- Ру, Pz) была изучена в § 8 и дает распределение Максвелла.
Формула для d@x (х, у, z) приводит к распределению Больцмана.
Больцман Людвиг (1844-1906)
§ 9. Распределение Больцмана 79
Распределение Больцмана. Величина у, z) в (9.3) определяет вероятность
того, что частица находится в объеме dxdydz вблизи точки (х, у. z).
Переход к системе п частиц мы производим точно так же. как это было
сделано в § 8 при выводе распределения Максвелла, т. е. рассматриваем
частицы независимыми и пользуемся формулами распределения вероятностей.
Если всего в канонической системе имеется п частиц, то по формуле
умножения вероятностей в элементе объема dx dy dz около точки (х, у. z)
находим
dп (х, у, z) - Ахп ехр [ - U (х, у, z)/(kГ)] dx dy dz. (9.4)
Постоянная А г находится из условия нормировки, которое в данном случае
означает, что в объеме имеется п частиц:
J dn = A j п J ехр [ - U (х, у, z)/(k Г)] dx dy dz = п, (9.5)
v v
откуда
~Г~ = J ехР [ ~ 17 У" гУ(ктУ\ d* йУ dz. (9.6)
Л1 у Формула
dn
п dx dy dz
¦ A, exp [ - U (x, y, z)/(kT)~\
(9.7)
называется распределением Больцмана. Оно дает распределение
пространственной концентрации частиц в зависимости от их потенциальной
энергии.
Нормировочную постоянную A j не всегда необходимо вычислять, потому что в
очень многих случаях нас интересует лишь распределение концентрации
частиц, а не их общее число. Пусть в точке (х0, у0, z0) известна
концентрация частиц п0 - - по (хо, Уо, z0) = dn/(dx0 dy0 dz0).
Потенциальная энергия в этой точке равна U0 = = U (х0, у о, z0).
Концентрацию частиц в точке (х, у, z) обозначим п0 (х, у, z). Тогда
