Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
формула (9.7) для этих двух точек имеет вид
-П^Х-0--0--0- = А, ехр [ - и0/( кТ)1 (9.8а)
ф Энергия молекул, движущихся в поле тяжести вверх, умень-
шается, однако средняя энергия при максвелловском распределении по
скоростям при этом не изменяется. Сохранение неизменной средней энергии
молекул при уменьшении энергии каждой молекулы осуществляется благодаря
выбыванию "наименее энергичных" молекул из потока при поднятии на высоту.
Средняя энергия молекул, движущихся вниз, не изменяется в результате
присоединения к потоку молекул, которые выбыли из потока при движении
вверх.
80 1. Статистический метод
"о(У'г) = А, ехр [- 1/(х, у, z)/(kT)\. (9.86)
Выразив постоянную Ах из (9.8а) и подставив полученное выражение в
(9.86), найдем
"о (х, Z) = и0 (х0, Уо, z0) ехр { - [I/ (х, у, z) -
(9.9)
Формула Больцмана наиболее часто употребляется именно в этом виде, причем
особенно удобно выбрать такую нормировку потенциальной энергии, чтобы в
точке (х0, у о, z0) потенциальная энергия была равной нулю (U0 = 0).
По своему содержанию формула (9.9) эквивалентна формуле (9.7). Если
концентрация молекул газа неизвестна ни в одной точке, а известно лишь
общее число молекул в заданном объеме, то п0(х0, у0, z0) является
постоянной, определяемой из условия нормировки на полное число частиц в
объеме.
Смесь газов в сосуде. Пусть в замкнутом цилиндрическом сосуде с площадью
основания S и высотой h0 находятся молекулы двух сортов. Полное число
молекул первого сорта обозначим пъ второго - п2, а массу каждой из
молекул - соответственно тх и т2. Найдем распределение молекул с высотой.
Прежде всего ясно, что плотность вероятности нахождения некоторой
молекулы каждого сорта не зависит от местоположения других молекул не
только того же сорта, но и молекул другого сорта. Поэтому распределение
молекул каждого сорта дается формулой (9.9). Обозначим h высоту слоя
молекул, отсчитываемую от дна сосуда. Концентрация молекул зависит только
от h. Потенциальную энергию молекул удобно нормировать на нуль на дне
сосуда (h = 0). При такой нормировке потенциальная энергия молекулы на
высоте h равна U = mgh. Следовательно, распределение (9.9) концентрации
молекул с высотой имеет вид
и01 {h) = и01 (0) ехр l-m^h/ikTj], п02 (h) = п02 (0) ехр [-m2gh/(kT)].
(9.10)
Из условий нормировки
S §n0l(h)dh = пь S §n02(h)dh = п2
(9.11)
о
получаем:
о
(9.12)
Отношение концентраций молекул на различных высотах равно
(9.13)
§ 9. Распределение Больцмана 81
Из формул (9.10) видно, что концентрация более тяжелых молекул убывает с
высотой быстрее, чем легких. Формула (9.13) показывает, что более тяжелый
газ больше концентрируется у дна сосуда, а легкий - у верхней части.
Оценим порядки величины. Как известно, при нормальных условиях
концентрация молекул в воздухе ио = 2,7-1025 м-3. Для конкретности второй
газ будем считать кислородом, первый - водородом. Температура воздуха
равна Т = 300 К (t " " 27°С); тп1 = 3,34-10"27 кг; т2 " 16тх; кТ" 4,14-10
21 Дж; д " 9,8 м/с2. При этих условиях показатели экспоненты для не очень
больших h0 чрезвычайно малы. Например, m^ho/ftT)" 8 • 10_6 h0;
m2gh0/(kT)" 10-4 /г0. Экспоненциальные члены можно разложить в ряд и
сохранить линейный по h член:
"цм ^Г,_ * "?.(1 _ 1;2.10-4Л) {9М)
n01(h) п, [ кТ у] и/ ' 1 ;
Таким образом, в верхней части сосуда относительная концентрация молекул
тяжелой компоненты уменьшается, а легкой - увеличивается. Это особенно
отчетливо проявляется при больших h0. Представим себе, что h0 " 104 м.
Тогда формула (9.13) приобретает вид
ОД ^-2-ехр(- 1,2-10"4А). (9.15)
"01 (") П1
Так как ехр (-1,2)" 0,3, то отношение концентраций частиц от 0 до 104 м
изменяется больше чем в три раза. Отметим также, что хотя изменение
концентрации с высотой при небольшой разнице высот очень мало, все же
именно оно служит причиной возникновения подъемной силы летательных
аппаратов легче воздуха (см. § 10).
Связь распределений Максвелла и Больцмана. Распределения Максвелла и
Больцмана являются составными частями распределения Гиббса. Температура
определяется средней кинетической энергией. Поэтому возникает вопрос,
почему в потенциальном поле температура постоянная, хотя по закону
сохранения энергии при изменении потенциальной энергии частиц должна
также изменяться их кинетическая энергия, а следовательно, как кажется на
первый взгляд, и их температура. Другими словами, почему в поле тяжести
при движении частиц вверх у всех них кинетическая энергия уменьшается, а
температура остается постоянной, т. е. остается постоянной их средняя
кинетическая энергия, а при движении частиц вниз энергия всех частиц
увеличивается, а средняя энергия остается постоянной?
О 1. При подъеме частиц в поле тяжести их кинетическая энергия
уменьшается. Почему при этом температура в поле тяжести в состоянии
равновесия не зависит от высоты?
2. Каким образом распределение Больцмана применяется к смеси газов ?
3. Как распределения Больцмана и Максвелла связаны между собой ?
