Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
среднее от их скалярного произведения, взятое по всем парам молекул,
равно нулю, т. е <[v4 M (v2 - - Vi)]> =- 0. Тогда
<K.M(v2 ~ vi)]> = [1 /("j + m2)] [(mt - m2)((\l\2)y +
+ m2 <vl> - mi <v?>] = 0.
Поскольку скорости молекул первого и второго сортов не коррелированы,
должно быть ((v^)) = 0. Поэтому
= mi <yi)- Иначе говоря,
<m^l/2> = (m2v\l2>,
в чем и требовалось убедиться.
Характерные скорости распределения Максвелла. Вид
распределения Максвелла показан на рис. 10. С увеличением скорости
максимум распределения смещается в сторону больших скоростей, а высота
кривой в максимуме несколько понижается. Наличие максимума объясняется
тем, что кривая отражает результат двух противоборствующих тенденций:
вероятность состояний с ростом скорости падает, а плотность состояний
увеличивается. При малых скоростях преобладает тенденция роста плотности
состояний, при скоростях после максимума кривой преобладает тенденция
уменьшения вероятности состояний.
Среднее значение функций ф (г), зависящих от абсолютного значения
скорости, вычисляется по формуле для среднего:
<Ф>= J <p(t.)/(t>)dt;. (8.17)
О
Определяя по этой формуле <t>> и <г2>, находим:
<г> = ]/%кТ/(пт), J/^У) = j/wrjm. (8.18)
Скорость vB, соответствующая максимуму кривой, назы-
70 1. Статистический метод
вается наивероятнейшей. Она находится из условия экстремума df(v)/dv = 0
и равна
vB = ]/2кТ/т. (8.19)
Из сравнения (8.18) и (8.19) получаем следующее соотношение между
характерными скоростями распределений Максвелла:
]/(^} = ]/Уф •<!)> = 1/5/2 (8.20)
Скорости на рисунке указаны штрихованными линиями. Такое расположение
обусловлено характером распределения, при котором существенный вклад в
<i/> и <i/2> вносится сравнительно большими скоростями. При комнатной
температуре характерные скорости молекул кислорода и азота в воздухе
равны примерно 400-500 м/с. Скорости молекул водорода при этом примерно в
четыре раза больше. С повышением температуры скорости молекул растут как
]/т.
Распределение Гаусса. В распределении Максвелла (8.16j плотность
вероятности скорости определяется величиной ехр[- mv2/{2kTj], а множитель
v2 учитывает плотность состояний. Распределения, плотности вероятности в
которых определяются множителем вида ехр(- ах2), весьма часто встречаются
в теории случайных величин, и важно представлять себе, какие
обстоятельства приводят к такому виду распределения вероятностей.
Пусть производится стрельба по некоторой мишени с намерением попасть в ее
центр (рис. 11). В результате всяких обстоятельств, которые даже
невозможно перечислить, пули, как правило, не попадут в центр, а
распределятся совершенно случайно и симметрично относительно центра,
поскольку все направления эквивалентны. Найдем 'их распределение. Начало
системы координат поместим в центр мишени. Причины, отклоняющие пулю в
направлении Y, не зависят от причин, отклоняющих ее в направлении X,
причем оба направления совершенно эквивалентны. Обозначим ср(х2)
плотность вероятности отклонения пули в направлении оси X. Ясно, что эта
величина зависит от х2, поскольку отклонения в положительном и
отрицательном направлениях равновероятны. Плотность вероятности
отклонения в направлении оси Y есть ф (у2). Рассчитаем относительное
число частиц dn/n, попавших на площадку dS с координатами (х, у). По
теореме умножения вероятностей оно равно
dn/n - ф (х2) ф (у2) dS, (8.21)
11. К выводу Г аусса
распределения
где п - общее число частиц, попавшее на мишень.
§ 8. Распределение Максвелла 71
Теперь повернем систему координат так, чтобы ось X прошла через
рассматриваемую площадку. В этой системе координат
dn/n = ф (х'2) dS. (8.22)
Ясно, что это та же величина, что и в (8.21), поэтому ф (х2) ф (у2) = ф
(х/2) = ф (х2 + у2)
- функциональное уравнение для определения вида функции ф. Оно должно
быть справедливо при произвольных независимых изменениях х и у.
Прологарифмируем обе части и найдем их дифференциалы:
-2х dx + - |-2| 2у dy = ^-+ -^-2| (2х dx + 2у dy), или
ф(х2) Ф(у2) ф(х2 + у2) Х yh
фЧу2) ф'(*2+.у2)
Г Ф'(*2) ф'(^24 у2)1
[ Ф(х2) ф(х2 + у2) J
xdx +
<Р(У2) <
Отсюда ввиду независимости дифференциалов следует: ф'(х2) ф'(*2 +
У2)_п <Р'(у2) ф'(*2 + У2) п
<р(х2) ф(л-2 + у2) ' Ф (у2) ф(х2 + ф2)
Тогда
ф'(х2) _ <р'(у2)
Ф(х2) ф(у2) '
что ввиду независимости х и у возможно только в случае, когда эти
выражения равны одной и той же постоянной, т-е.
iPV) = *V) ±а. (&23)
фИ ф(г)
Интегрируя эти уравнения, находим: ф(х2) = Ае±ах\ ф(у2) = Ае±ау2.
Функция со знаком плюс в экспоненте не подходит в качестве решения,
поскольку он означает безграничное увеличение плотности вероятности при
удалении от центра мишени, что невозможно. Обозначая г2 = х2 + у2 квадрат
расстояния от центра,
О 1- Как изменяется распределение Максвелла с ростом температуры?
2. Чем обусловливается существование максимума на кривой, характеризующей
распределение Максвелла?
3. Откуда следует, что в состоянии равновесия все части системы имеют
