Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Матвеев А.Н. -> "Молекулярная физика. Том 2" -> 32

Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.

Матвеев А.Н. Молекулярная физика. Том 2 — М.: Высшая школа, 1981. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): molekulyarnayafizikat21981.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 181 >> Следующая

потеряет энергию, чем приобретет ее. Однако возможность приобретения
§ 8. Распределение Максвелла 67
Дифференцирование (8.8) по параметру р приводит к формуле
\/п
J А-
(8.9)
использованной при вычислении (8.7). Из условия (8.6) при учете (8.7)
получим
4 V4пт3( 2 \3/2 |/п ,
(2п*)3 (|т)~4~~ ' *
Находя отсюда А и подставляя полученное выражение в (8.5), окончательно
выведем следующую формулу для искомой вероятности:
d#(v) = ^=г е-Р(tm)3/2г2 dv. (8.11)
Распределение Максвелла. Для применения (8.11) к системе п частиц
необходимо использовать формулу сложения вероятностей, считая каждую из
частиц системы движущейся независимо и случайно, что, конечно, полностью
соответствует характеру движения частиц идеального газа. Число частиц,
скорости которых заключены между v и v + dv,
dn(v) = nd^(v). (8.12)
Следовательно, относительное число частиц со скоростями в интервале (г, v
+ dr)
Q - fimv2/2y2
(8.13)
Эта формула называется распределением Максвелла. Оно характеризует
распределение частиц газа по скоростям в состоянии равновесия.
Прежде чем переходить к анализу этой формулы, необходимо выяснить
значение параметра р.
Закон распределения скоростей газовых молекул (8.13) был впервые получен
Дж. Максвеллом в 1860 г. Более строгое доказательство этой формулы было
дано в 1866 г.
энергии также не исключается. Поэтому в каком-то смысле в системе молекул
"торжествует" в конечном счете всеобщая справедливость: обладающие малой
энергией молекулы в среднем приобретают ее, а обладающие большей -
теряют. Каждая отдельная молекула в течение достаточно большого
промежутка времени является "обладательницей" как малых, так и больших
энергий. Средние энергии всех молекул одинаковы и равны средней энергии
всех молекул в любой момент времени (эргодическая гипотеза). Однако
равенства энергий молекул в любой заданный момент времени не существует,
что и описывается распределением Максвелла.
5*
.68 1. Статистический метод
Величина d&(v)/dv является плотностью вероятности для частицы иметь
скорость v, причем речь идет об абсолютном значении скорости. Как видно
из (8.13), распределение скоростей молекул по направлениям изотропно, все
направления скоростей равновероятны.
Температура. Вычислим среднюю кинетическую энергию частиц:
00
/ mv2 \ [ mv2 т 3 1
J^"d^) = TT' (8-14)
о
где интеграл найден с помощью формулы, получаемой из (8.9) после
дифференцирования по параметру р. Таким образом, р характеризует
важнейшую величину статистической системы - среднюю кинетическую энергию
частиц системы. Величина, обратная р, получила название температуры:
1/р = кТ,
(8.15)
где к - коэффициент пропорциональности, называемый постоянной Больцмана.
Распределение Максвелла (8.13) с учетом (8.15) принимает вид
d п/п = d^(v) - f(v) dv,
f(v) = 4n
m
2nkT
3/2
*-mv2/[2kT)v2_
(8.16)
Температура T формулой (8.15) введена чисто формально, как определение.
Она является термодинамической температурой (см. § 11, 21). Здесь пока
достаточно знать это без доказательства и пользоваться интуитивным
представлением о температуре, имеющимся у каждого. В СИ единицей
температуры Т является кельвин. Она связана с температурой f С по шкале
Цельсия соотношением Т= t + 273,15. Постоянная Больцмана к = 1,380662-
10"23 Дж/К. Ее экспериментальное определение дано в § 13.
Из вывода (7.5) видно, что р = 51пГа0/580 и, следовательно, температура
определяется свойствами системы, в которую погружена подсистема. Поэтому
температура является характеристикой системы в целом.
Ясно, что все части системы имеют одинаковую температуру. В самом деле,
любую небольшую часть системы можно принять за подсистему и получить для
нее формулу (7.5) с тем же параметром р, т. е. все части системы имеют
одинаковую температуру. Например, если имеется смесь газов, то,
рассматривая компоненты смеси или части этих компонентов как подсистемы,
мы придем к выводу, что компоненты смеси газов имеют одинаковую
температуру, т. е. средние кинетические энергии различных компонентов в
смеси газов равны друг другу. С другой стороны, если компоненты разделены
пространственно, но могут обмениваться энергией, то на основании
сказанного о равновесии они также обладают одинаковыми температурами как
части общей системы. В смеси газов молекулы различных сортов имеют
одинаковые средние кинетические энергии в условиях термоди-
§ 8. Распределение Максвелла 69
10
10. Распределение Максвелла
намического равновесия [см. (8.14), (8.15)]. В этом можно убедиться также
прямым вычислением. Обозначим величины, относящиеся к молекулам первого и
второго сортов, индексами 1 и 2. Возьмем всевозможные пары молекул и
вычислим их относительные скорости v2 - и скорости их центров масс vu.M =
(wiV! + W*2v2)/(m1 + m2).
Ввиду беспорядочности столкновений и быстрой "потери памяти" каждой
молекулой о прошедших столкновениях скорости центров масс и относительные
скорости между собой не могут быть коррелированными. Следовательно,
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 181 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed