Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
одну и ту же_температуру?
4. Какая связь существует между распределениями Максвелла и Гаусса?
72 1. Статистический метод
окончательно получаем Ф {г2) - ф (х2) ф (у2) = Л2е-а (х2+у2} = А2е~аг2.
12
(8.24)
Это распределение плотностей вероятностей называется распределением
Гаусса.
Экспоненциальный множитель в распределении Максвелла имеет подобный вид
(в нем вместо г2 стоит и2). Множитель v2 не имеет отношения к
вероятностям, а учитывает плотность состояний. Таким образом, скорости в
распределении Максвелла отклоняются от нулевой скорости по законам случая
точно так, как пули отклоняются от центра мишени.
Максимум плотности вероятности в (8.24) приходится на г = 0. Если этот
максимум приходится на г = р, то
/(x) = 5e-a(*-w2, (8.25)
где случайная величина обозначена х. Принимая во внимание значение
интеграла
J e-x2dx = ]/тг,
из условия нормировки
В
1= J f(x)dx = В J e_K(x_,i)2dx - -- f e~^d^=B
-оо -ОО yet -00
находим В = |/ос/тг, поэтому / (*) = (Ф)112 ехр [-а(х - р)2].
Вычислим среднее значение х и дисперсию а2:
00
<х> = (а/л)1/2 J х ехр [-а (х - р)2] dx =
'п_
а
= (ос/тг)1/2 J (?, + р)ехр(-oc?,2)d?, = р;
- 00
а2 = <(х-ц)2> = (а/")1/2х
00
х J (х - р)2 ехр [- а(х - р)2] dx = 1/(2а).
(8.26)
(8.27)
Таким образом, а = 1/(2а2) и распределение плотности вероятности может
быть записано в стандартной форме:
(8.28)
12. Изменение вида гауссовского распределения в зависимости от
дисперсии (at < а2 < о3)
§ 8. Распредепение Максвелла 73
13
На рис. 12 показаны это распределение и плотность
______________ при различных значениях ст. Максимум тем выше и уже,
чем меньше среднеквадратичное отклонение ст.
Функция распределения вероятностей в соответствии с определением (2.21)
имеет вид
(р-За) ' ([i-а) р (р+а) (р+За) (р-2а) (р+2а)
13. Распределение функции вероятностей Гаусса
14. К вычислению числа ударов молекул о стенку
(8.29)
Эта функция называется гауссовым или нормальным законом распределения.
С помощью подстановки z = (х - р)/ст выражение (8.29) приводится к
формуле
Ф (г) = f е '2/2 dz, (8.30)
]/2к -(r)
называемой стандартным нормальным законом распределения. Имеются таблицы
значений Ф(г). Вид функции F(x) показан на рис. 13.
Частота ударов молекулы о стенку. Направим ось X перпендикулярно стенке
(рис. 14) и обозначим п0 концентрацию молекул. Тогда плотность потока
молекул в направлении стенки со скоростями между v и v + dv равна
n0f{v)v(x+)dv, (8.31)
где г*(+) - составляющая скорости в направлении положительных значений
оси X (молекулы, скорости которых направлены от стенки, в образовании
потока не участвуют). Тогда частота ударов молекул о стенки сосуда,
приходящаяся на единицу площади, равна
v = n0J7(t>)ti+,dt. = п°(^шт)2 x]e-^r,d0,-"0(^VA
я e~m(v>+v2M2kT)dvydvz X
(8.32)
Принимая во внимание формулу (8.18), окончательно напишем
v = n0(v}/4. (8.33)
Число молекул в различных участках распределения Максвелла. Если
плотность молекул п0, то число N (гь v2) молекул, скорости которых
распределены между и v2, равно
V2 4 v2/vv
N(VU v2) = n0 j/(r)dr = n0 J e-"V du. (8.34)
vi j/Tt vjvb
74 1. Статистический метод
При вычислении (8.34) учтено, что в соответствии с (8.19) ехр [ -
mv2/(2kT)] вf(v) можно представить как ехр (- г2/гв), что более наглядно
при анализе формы кривой распределения Максвелла. Имеются таблицы
интеграла
4 00
ф(х) = -j=- J е u w2dw. (8.35)
]Л X
С их помощью величина (8.34) вычисляется по следующей очевидной формуле:
N (vu v2) = п0 [ф (v2/vB) - ф (i>i/i>b)]. (8-36)
Из таблицы, в частности, находим:
N (vB, оо) = 0,5724п0; N (0,5гв, 1,5гв) = 0,7053ио;
N(2 гв, оо) = 0,0460 п0-
Таким образом, большая часть всех молекул имеет скорости в сравнительно
небольшом интервале около наивероятнейшей, а молекул со значительными по
сравнению с наивероятнейшими скоростями очень мало.
Экспериментальная проверка распределения Максвелла. Ввиду принципиальной
важности распределения Максвелла для статистической физики оно было много
раз 15. подвергнуто тщательной экспериментальной проверке. Принципиальная
схема наиболее типичной экспериментальной установки состоит в следующем.
В объеме V (рис. 15) помещен газ, находящийся в стационарном равновесном
состоянии. Через отверстие d выходит пучок исследуемых молекул. Чтобы в
процессе движения пучка распределение молекул в нем не изменялось, они
должны двигаться практически без взаимодействия друг с другом. Поэтому на
пути движения пучка создается
Схема экспериментов по проверке распределения Максвелла
§ 8. Распределение Максвелла 75
высокий вакуум, а в сосуде V газ находится под низким давлением. Для того
чтобы в выходящем из сосуда пучке молекулы имели такое же распределение
скоростей, как и в сосуде, необходимо обеспечить истечение газа через
отверстие d без гидродинамического напора. Это возможно, если в области
вблизи отверстия молекулы не успевают сталкиваться друг с другом. Тогда
молекула, попадающая в отверстие, вылетает из сосуда, не возмущая
