Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
молекул стремится разупорядочить ориентировку диполей. В результате этого
дипольные моменты ориентируются относительно направления электрического
поля случайно. Задача состоит в том, чтобы найти распределение дипольных
моментов по углам относительно электрического поля и выяснить зависимость
вектора поляризации от температуры.
6*
84 1. Статистический метод
Из курса электричества известно, что диполь (дипопь-ный момент р),
помещенный в электрическое поле с напряженностью Е, обладает
потенциальной энергией
17 = - р -Е. (9.19)
Эту формулу наиболее просто можно вывести так. Направим ось Z по
электрическому полю. Силы, действующие на заряды диполя, направлены вдоль
оси Z (рис. 18) и равны qE и - qE (под q понимается абсолютное значение
заряда). Общая связь между силами и потенциальной энергией приводит к
выражению потенциальной энергии этих зарядов: U.(z2) = -qEz2, U(z1) = =
qEzt. Поэтому энергия диполя (поле однородно)
U = U (z2) -I- U (zj = - qE (z2 - Zi) = -qElcos 0 = - p E.
Эта формула справедлива и для энергии диполя в изменяющемся электрическом
поле, поскольку она не зависит от производных по координатам, а заряды в
диполе располагаются сколь угодно близко один к другому.
Очевидно, что распределение диполей по углам симметрично относительно оси
Z и зависш от угла 0 (рис. 19). Потенциальная энергия зависит от угла 0 и
не зависит от координат (напряженность Е в элементе объема, в котором
вычисляется распределение по углам, является постоянной). Если обозначить
(Ю элемент телесного угла, то формула (9.4) для распределения Больцмана
записывается в виде
dn (dQ) = ЛеР-Е/^сЮ = y4e^cose^T'Mcpsin0d0, (9.20)
где Л - нормировочная постоянная и принято во внимание выражение для
телесного угла в сферических координатах : dQ = dtp sin 0 d0. Эта формула
решает задачу распределения дипольных моментов молекул по углам.
В результате аксиальной симметрии средний дипольный момент имеет
составляющую только вдоль оси Z:
19
<Рг> =
да
J р cos 0 ехр (a cos 0) sin 0 d0
о ____________________________________
Я
f ехр (а cos 0) sin 0 d0
о
П
р ехр (а cos 0) sin 0 d0,
Z 1
Е| г2'
1 ч- -/ 1 1 1 1 ) ! г
19. К расчету энергии диполя в электрическом поле
(9.21)
где а = рЕ/(кТ). Тогда
(.РгУ = pL (a), L (a) = cth а - 1/а.
(9.22)
20 L
1
§ 9. Распределение Больцмана 85
а
Вид функции L(a), называемой функцией Ланжевена, показан на рис. 20.
Разложение в ряд гиперболического котангенса имеет вид
cth а = 1/а + а/3 - а3/45 + ... (9.23)
При сравнительно слабых полях, для которых рЕ <?кТ, можно ограничиться
линейным членом и тогда формула (9.22) становится совсем простой:
(pz}=p2E/(3kT). (9.24)
Вектор поляризации направлен вдоль оси Z, а его модуль равен выражению
(9.24), умноженному на плотность атомов. Таким образом, поляризация
полярных диэлектриков уменьшается обратно пропорционально температуре.
Этот пример рассмотрен для того, чтобы показать применимость
распределения Больцмана для анализа не только пространственного
распределения частиц, но и также для анализа их распределения по другим
переменным, от которых может зависеть их потенциальная энергия.
Экспериментальная проверка распределения Больцмана.
При выводе распределения Больцмана не налагалось никаких ограничений на
массу частиц. Поэтому в принципе оно применимо и для тяжелых частиц.
Возьмем в качестве этих частиц, например, песчинки. Ясно, что они 20.
Функция Ланжевена расположатся в некотором слое у дна
сосуда. Строго
говоря, это является следствием распределения Больцмана. При больших
массах частиц показатель экспоненты столь быстро изменяется с высотой,
что равен нулю везде за пределами слоя песка. Что касается пространства
внутри слоя, то там надо принять во внимание объем песчинок. Это сведется
к чисто механической задаче на минимум потенциальной энергии при заданных
связях. Задачи такого типа рассматриваются не в статистической физике, а
в механике.
"о (*, у, z) =
= по (*о> Уо, Z0) х х e[-V(x,y,z)-U0-]/(kT)
86 1. Статистический метод
Для того чтобы тяжелые частицы не "осели на дно", а распределились в
достаточно большом слое по высоте, необходимо, чтобы их потенциальная
энергия была достаточно малой. Этого можно достигнуть, помещая частицы в
жидкость, плотность которой лишь на немного меньше плотности материала
частиц. Обозначив плотность и объем частиц р и т, а плотность жидкости -
р0, видим, что сила, действующая на частицу, равна т (р - р0) д.
Следовательно, потенциальная энергия такой частицы на высоте h от дна
сосуда равна
U(h) = x(p-p")gh. (9.25)
Поэтому распределение концентрации этих частиц по высоте дается формулой
По (h) = п0 (0)ехр [- т (р - Ро)дh/(kTj}. (9.26)
Чтобы эффект был достаточно хорошо заметен, частицы должны быть
достаточно малыми. Число таких частиц на разных высотах в сосуде считают
с помощью микроскопа. Эксперименты такого рода впервые были выполнены
начиная с 1906 г. Ж. Б. Перреном (1870-1942).
Проделав измерения, можно прежде всего убедиться, действительно ли
