Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
концентрация частиц изменяется по экспоненциальному закону. Перрен
доказал, что это действительно так и, следовательно, распределение
Больцмана справедливо. Далее, исходя из справедливости распределения и
измерив независимыми способами объемы и плотности частиц, можно по
результатам эксперимента найти значение постоянной Больцмана к, поскольку
все остальные величины в (9.26) являются известными. Таким путем Перрен
измерил к и получил результат, весьма близкий к современному. Другим
независимым способом значение к было измерено Перреном из опытов с
броуновским движением.
В последующем были проведены также эксперименты другого типа, полностью
подтвердившие распределение Больцмана. Из экспериментов другого типа
можно указать, например, на проверку зависимости поляризации полярных
диэлектриков от температуры, рассмотренную выше.
Пример 9.1. Перрен использовал распределение гуммигутовых зерен в воде
для измерения постоянной Авогадро. Плотность частиц гуммигута составляла
р = = 1,21 -103 кг/м3, а их объем т= 1,03 -10"19 м3. Температура, при
которой проводился эксперимент, была равна 4° С. Найти высоту h, на
которой плотность распределения гуммигутовых зерен уменьшалась в два
раза.
Принимая во внимание, что, по условию задачи, т(р - р0) = 0,22 ¦ КГ16 кг,
получаем на основе формулы (9.26)
h = кТ In 2/[т (р - ро) д] = 12,3 • 10" 6 м.
Пример 9.2. В воздухе при температуре 27°С и давлении 1,013 105 Па
взвешены шарообразные частицы радиусом 10~7 м. Установлено, что
концентрация частиц уменьшается вдвое на высоте 20 м. Найти массу
взвешенной частицы.
По формуле (9.26) находим т(р - р0) = кТ In 2/(gh) = 1,06-10~23 кг.
Учитывая, что т = 4,19-10-21 м3, находим р - р0 = 2,53• 10~3 кг/м3.
Поскольку ро = 1,293 кг/м3, получаем р = 1,296 кг/м3 и, следовательно,
масса частицы
т= 1,296-4,19-10" 21 кг = 5,43 • КГ21 кг.
§ 10. Давление 87
§ 10 Давление
Выводится основное уравнение кинетической теории газов и обсуждаются его
различные формы и связанные с ним закономерности.
Обсуждаются барометрическая формула и механизмы возникновения подъемной
силы воздушного шара и аэростата. Описываются основные методы измерения
давлений в различных диапазонах
Основное уравнение кинетической теории газов. Давление возникает в
результате ударов молекул о стенки сосуда. Каждая молекула передает
стенке тот импульс, на который изменяется импульс самой молекулы в
результате столкновения со стенкой. Поэтому если ось X направить
перпендикулярно стенке (см. рис. 14), то переданный при одном
столкновении импульс равен 2mv?+) (т - масса молекулы). Давление равно
импульсу, передаваемому стенке площадью 1м2 молекулами в результате их
столкновений за 1 с. Поэтому давление есть удвоенный поток импульса
молекул, нормального к поверхности стенки.
Поток импульса по направлению к стенке за счет молекул, абсолютные
скорости которых заключены между v и v + dv, равен согласно (8.31)
naf(v)vi+)dvmvi+). (10.1)
Индекс ( + ) у скоростей показывает, что этот поток создается только теми
молекулами, которые движутся к стенке (т. е. половиной общего числа
молекул). Тогда
рх = 2п0т J/(t>) (г^+))2 dr = п0кТ, (10.2)
причем вычисление интеграла здесь проводится совершенно аналогично
вычислениям в (8.32), которые были расписаны подробно.
Совершенно аналогично вычисляются ру и р" которые дают тот же результат
(10.2):
Рх = Ру = Рг = Р = П0кТ. (10.3)
Как и следовало ожидать, давление газа изотропно и его можно обозначить р
без указания направления, к которому оно относится. Заметим, что это не
всегда так. Если механические свойства среды анизотропны, то давление в
данной точке в разных направлениях может быть различным. В данном же
случае, конечно, свойства газа изотропны.
Выразив в (10.3) температуру через среднеквадратичную скорость <г2> по
формуле
(8.18), можем записать уравнение (10.3) в виде
(10.4)
Это уравнение называется основным уравнением кинетической теории газов.
При выводе уравнения (10.4) не делалось никаких предположений о законе
удара молекул о стенку сосуда. Этот процесс очень сложен и зависит как от
свойств молекул, так и от свойств материала стенки и ее обработки.
Отражение атомов от стенки, вообще говоря, не происходит по законам
зеркального отра-
88 1. Статистический метод
жения, т. е. угол падения их на стенку не равен углу отражения. В
большинстве случаев соблюдается "закон косинусов", когда интенсивность
отражения в некотором направлении пропорциональна косинусу угла между
этим направлением и нормалью к поверхности. От угла падения эта
интенсивность почти не зависит. Если поверхность является гранью
монокристалла, то закон отражения существенно зависит от характеристик
кристалла, может иметь минимумы и максимумы в различных направлениях и т.
д. Однако при расчете давления нет необходимости все это принимать во
внимание, поскольку в стационарном случае при усреднениях тангенциальные
составляющие импульсов в конечном счете должны компенсироваться, а
