Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
пропорционально квадратному корню из числа частиц и при большом числе
частиц становится ничтожно малым. Поэтому поведение системы большого
числа частиц можно описывать с помощью средних величин, характеризующих
систему.
Пример 6.1. В сосуде с сильно разреженным газом проделано очень маленькое
отверстие площадью S= 10"10 м2, через которое молекулы газа выходят
наружу. Отверстие столь мало, что молекулы пролетают его, не сталкиваясь
друг с другом, и своим вылетом не нарушают сколько-нибудь заметно
состояния газа внутри сосуда. Средняя частота ударов молекул о стенку
сосуда равна v = 1026 с-1 ¦ м-2. Вне сосуда измеряется число вылетевших
молекул в последовательные интервалы времени продолжительностью т = 10"2
с. Найти относительную флуктуацию числа вылетевших в интервале времени
молекул.
Среднее число вылетевших в интервале т молекул равно <n> = vSx, и,
следовательно, относительная флуктуация числа вылетевших частиц равна
1/"А")2> 11 1
<И> ]/<и> ]/vSt l/l026 10-"M0-2
Пример 6.2. Найти среднее значение произведения ftf2 двух произвольных
физических величин, флуктуирующих вокруг своих средних значений </t) и
</2>.
По определению, /t = </i> + А/ь /2 = </2> + Л/2 и поэтому
</i/2> = <</i> </2" + <</i>л/2> + <4/i </2" + <л/2 л/2> =
= </i> </2> + <Л> <Л/2> + <A/i> </2> + <A/i А/2> = <Л> </2> + <A/i А/2>,
(6.21)
где <А/[ > = 0, <А/2> = 0.
Величины называются статистически независимыми, если <А/1А/2)=0. Для них
формула (6.21) упрощается:
</i/2> = </i></2>. (6.22)
§ 7 Канонический ансамбль. Распределение Гиббса
Рассматриваются особенности канонического ансамбля по сравнению с
микроканоническим. Выводится распределение Гиббса. Отмечается роль
статистической суммы в теории и дается пример вычисления средних с
помощью статистической суммы.
Скоростные и энергетические микросостояния. До сих пор рассматривался
микро-канонический ансамбль, когда можно было избежать анализа
микросостояний частиц по скоростям, поскольку в равновесии число
микросостояний частиц по скоростям, очевидно, одинаково и равно
максимальному числу микросостояний, совместимых с условием постоянства
полной энергии. Основными положениями, которые позволили изучить свойства
микроканонического ансамбля, были эргодическая гипотеза и постулат
равновероятности.
§ 7. Канонический ансамбль. Распределение Гиббса 61
Теперь необходимо изучить распределение микросостояний частиц по
скоростям. Заметим какую-либо частицу и будем изучать ее скорость как в
одной из систем ансамбля в различные моменты времени, так и в различных
системах ансамбля в один и тот же момент времени. Изучение скорости
частиц дает также полную информацию о ее кинетической энергии. Совершенно
очевидно, что скорость и кинетическая энергия частицы меняются в
результате столкновений с другими частицами. Таким образом, частица в
разных системах ансамбля находится в различных состояниях по скорости и
энергии. Если же следить за ней в одной из систем, то с течением времени
ее микросостояние по скорости и времени будет изменяться. Задача
заключается в том, чтобы определить эти скоростные и энергетические
микросостояния.
Определение канонического ансамбля. Рассмотрим скоростные и
энергетические микросостояния частицы, которые представляют изучаемую в
данном случае систему. Но эта система теперь не замкнута, поскольку она
обменивается энергией с другими частицами, составляющими вместе с ней
замкнутую систему. Совокупность замкнутых систем составляет
микроканонический ансамбль. Совокупность соответствующих незамкнутых
систем называется каноническим ансамблем. Таким образом, отдельная
система канонического ансамбля является частью большой замкнутой системы.
Отдельная система канонического ансамбля составляет часть большой системы
не в пространственном смысле, а в смысле состояний по энергиям и
скоростям; в пространственном смысле эта часть может совпадать со всей
системой. Отдельная система канонического ансамбля может содержать как
одну, так и много частиц; важно лишь, чтобы число ее частиц было
значительно меньше числа частиц большой системы. Энергия различных систем
канонического ансамбля различна. Проблема состоит в определении
вероятности различных энергетических состояний систем, принадлежащих
каноническому ансамблю. Ее решение дает полную информацию о всех
состояниях в системе канонического ансамбля, поскольку совокупность
состояний с одинаковой энергией составляет микроканонический ансамбль и
уже изучена. Отдельная система канонического ансамбля называется
канонической системой.
Из определения канонического ансамбля следует, что при анализе
распределения систем по энергиям в каноническом ансамбле речь может идти
не только о кинетической энергии, но также и о потенциальной.
Распределение Гиббса, или каноническое распределение. Каноническую
систему для упрощения выражений назовем подсистемой, а систему, частью
которой она является, - системой. Еще раз напомним, что система
