Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
макросостояния У(^ь wi) - Ni ./{Ni - тп). (5-7)
В остальной части объема V- Vx содержится п - m остальных частиц. Число
микросостояний, которые для них доступны:
у (V- Vu п - m) = (N - Nt)\/[N - - (и - m)]! (5.8)
Таким образом, для конкретных m частиц, находящихся в объеме Vu общее
число микросостояний, посредством
48 1. Статистический метод
которых реализуется макросостояние, равно у (Кь т) у (V- Vu п - т),
поскольку с каждым из микросостояний в Vl комбинируются все состояния в
объеме V-Vx. Однако произведение y{Vu т) y(V- Vu п - т) не дает всех
микросостояний, посредством которых реализуется макросостояние. Это
только то число микросостояний, которое соответствует некоторому
конкретному набору частиц т в объеме V±. Но т частиц из общего числа п
частиц можно выбрать н!/[т! (п - т)!] способами, как это было найдено в
(5.4). Поэтому общее число микросостояний, посредством которых
реализуется макросостояние,
r<|/i>m)= m!(n_m)! 7(Fl'm)T(K~ Vu"~m)- (5'9)
Следовательно, на основании (5.1) для вероятности макросостояния получим
формулу
f(Vt т) = Г(К''т) = Ш ЛГ.ЦЛГ -ЛГ,)1(У -И)1__________________________ (5
10)
ь ' Г0 т!(п-т)! (JV, - о)! [N - '
Тем самым вопрос об определении вероятности макросостояния решен,
поскольку все величины в правой части формулы (5.10) известны. Однако
чтобы сделать эту формулу наглядной, необходимо привести ее к более
простому виду. Это можно сделать, пользуясь тем, что входящие в нее числа
весьма велики. В самом деле, если газ находится при нормальных
атмосферных условиях, то при Vl = 1 см3 п " 1019, N к 1024, JVi = 1024
(VJV). Поэтому число ячеек в Vx также чрезвычайно велико, даже если Vt
составляет небольшую часть объема V. Для интересующих нас условий можно
также предположить, что N1 т. При этом формула (5.10) значительно
упрощается.
Формула Стирлинга. При больших п выполняется равенство
и! М"/е)" (5.11)
Эта формула Стирлинга доказывается исходя из равенства
п
Inn! = In 1 + In 2 + ... + Inn - Y, In и An, An = 1. (5.12)
n - 1
Поскольку An при больших n считается малой величиной, то можно в (5.12)
от суммы перейти к интегралу
п
Inn! " jinndn = nInn - n, (5.13)
i
где в правой части отброшена единица, которая мала по сравнению с
п.
Потенцируя (5.13), приходим к (5.11).
Формула для вероятности макросостояния. Все факториалы в (5.10)
необходимо выразить через степени по формуле (5.11). При использовании
формулы Стирлинга необходимо принять во внимание, что N1f>m, N - п -
т, N $> п. Например,
f - т \Ni~m т \Nl~m ( N* Y1" m
§ 5. Вероятность макросостояния 49
Аналогично вычисляются другие факториалы. В результате формула (5.10)
принимает вид
ч п\ JV1w(iV-iV1)"-'" п\ (АГЛ"Л Nx\n~m
( i'm)~ m\(n-m)l Nn т\(п-т)\ \ Nj \ N) ' (514>
Она имеет очень простой смысл: р = (NJN) = (VJV) - вероятность нахождения
частицы в объеме V1; q = 1 - NJN = 1 - р - вероятность нахождения частицы
в остальной части объема V- Vt. Как и должно быть, р + q = 1, потому что
частица находится либо в Vu либо в V- Vx.
Формулу (5.14) удобно записать с помощью вероятностей р и q нахождения
отдельной частицы в объемах У1 и V- Vx:
(5.15а)
Это распределение называется биномиальным. В определении (5.15а)
биномиального распределения объем Vx не имеет значения, поскольку он
выбран лишь для того, чтобы придать наглядный смысл вероятности р для
отдельной частицы, находящейся в этом объеме. Содержание этого
определения не зависит от выбора объема Vu что отражено и в форме записи
(5.15а) отсутствием Vx в явном виде в правой части.
Поэтому дадим другое, более общее определение биномиального
распределения. Пусть производится испытание на появление некоторого
события, причем в каждом испытании событие может либо наступить, либо не
наступить. Другого исхода не может быть. В качестве примера можно взять
вытаскивание шаров из урны. В урне имеется какое-то число шаров
различного цвета. Испытание состоит из вытаскивания шара наугад После
фиксации цвета шар возвращается обратно и шары перемешиваются, чтобы
последующее испытание происходило в тех же условиях, что и предыдущее.
Другими словами, исход каждого последующего испытания не должен зависеть
от результатов предыдущих и вероятность результатов отдельного испытания
должна быть неизменной. Пусть изучаемым событием является вытаскивание
шара определенного цвета, например черного. Обозначим р вероятность его
извлечения при отдельном испытании. Тогда вероятность того, что шар при
испытании не будет извлечен, равна q = 1 - р.
Найдем вероятность того, что при п испытаниях рассматриваемое событие
§ Число микросостояний, посредством которых осуществляется данное
макросостояние, называется термодинамической вероятностью макросостояния.
Это число очень велико. Вероятностью макроскопического состояния системы
называется отношение его термодинамической вероятности к общему числу
возможных микросостояний системы.
Наиболее вероятным состоянием изолированной системы, предоставленной
