Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
до 8 ч 50 мин 70% пассажиров проходят через автоматические двери,
пользуясь пятикопеечными монетами, 20% используют проездные абонементы и
10% покупают билеты в кассе. Какова вероятность того, что из 10 наугад
взятых пассажиров в этот период времени 7 воспользуются автоматическими
дверьми, 2 используют абонементы и 1 пройдет с билетом, купленным в
кассе?
Поскольку для каждого из пассажиров эти три возможности составляют полную
систему возможностей, находим
=0,0275.
Пример 5.3. Изучение работы машинистки показало, что она в течение 20%
рабочих дней в году делает меньше четырех опечаток, в течение 50% число
опечаток от 5 до 10 и в оставшиеся 30% дней число опечаток превышает 10.
Определить вероятность того, что в течение трех дней из пяти она сделает
больше 10 опечаток.
Вероятности того, что она сделает в течение дня меньше четырех, от 5 до
10 и больше 10 ошибок, соответственно равны pt =0,2; р2 =0,5; р3 =0,3.
Машинистка делает в течение трех дней больше 10 ошибок в трех различных
случаях:
§ 6. Флуктуации 55
1) два дня меньше 4 опечаток, три дня больше 10 опечаток:
^5(2'0,3)= 2Ж(0'2)2(0'3)3'
причем в аргументе у показано число дней, когда реализуется число ошибок,
соответствующее вероятности ри р2 и р3;
2) два дня число опечаток от 5 до 10 и три дня больше 10 опечаток:
9 5 (0,2, 3) = 2jjr~(0'5)2 (о.з)3;
3) один день число опечаток меньше 4, один день - от 5 до 10 и три дня -
больше 10:
95(1,1,3) = ^г0,2-0,5-(0,3)3.
Эти три случая исчерпывают все возможности, при которых машинистка в
течение трех дней делает больше 10 ошибок каждый день. Полная вероятность
того, что в течение недели будут существовать три дня, когда машинистка
сделает больше 10 ошибок в каждый из дней, равна сумме вероятностей:
9= #5 (2, 0, 3) + (0, 2, 3) + #5 (1,1, 3) =
= 2§г(о.з)3 ?(0'2>2 + (0'5)2 +2 ¦ °'2 • ад = °>013>
т. е. примерно лишь в 1,3% недель случается, что машинистка в течение
трех дней делает больше 10 ошибок.
Флуктуации
На примере числа частиц в объеме рассматривается вопрос о флуктуациях
физических величин. Вычисляются флуктуации в рамках биномиального
распределения. Дается общий вывод зависимости относительной флуктуации от
числа частиц в системе
Среднее число частиц в объеме. В соответствии со сказанным можно
заключить, что с течением времени число частиц в некотором объеме не
остается постоянным, а все время изменяется в небольших пределах. Большие
отклонения в принципе также возможны, но мало вероятны и поэтому
встречаются чрезвычайно редко. Зависимость числа частиц в объеме VL от
времени показана на рис. 8. Среднее число частиц в объеме Vl, по
определению, равно
to+ 7
<т\ =
1
т (t) d t
(6.1)
при стремлении Т->оо. Зависимость т от t неизвестна и вычислить среднее
нельзя. Однако можно воспользоваться эргодической гипотезой (4.13),
свести среднее по времени к среднему по ансамблю и воспользоваться
формулой (4.5).
56 1. Статистический метод
Тогда:
п
<m>, = <m>fl = т) = ^
п\т
т=0
т=0
ml (п - т)\
-pmqn~m.
(6.2)
Эту величину проще всего вычислить следующим образом:
У --------^----pmqn~m = р -У---------_____pmqn~т =
L т\(п - т)\ У 4 У dp L т\(п-т)1 У 4
т=О
(6.3)
(6.4)
= р -^(р + qf = рп(р + qf 1.
Так как р + q = 1, то <m>f = <m\ = рп.
Это означает, что средняя плотность в Vx равна средней плотности во всем
объеме V. В дальнейшем у знака среднего нет необходимости указывать, о
каком усреднении идет речь, потому что мы используем эргодическую
гипотезу.
Флуктуации. Мерой флуктуаций является стандартное отклонение от среднего
значения, которое определено равенством (2.19). При вычислении этой
величины усреднение по времени можно заменить усреднением по ансамблю.
Формула (2.19) показывает, что для нахождения стандартного отклонения
наряду с <m> необходимо также вычислить <га2>:
(б-з>
т=0
(т)
# Находясь в равновесной состоянии, система продолжает 8. флуктуации
числа частиц пребывать в постоянном изменении, совершая переходы из
одного микросостояния в другое. Поскольку она "не обладает способностью"
предпочитать одни микросостояния другим, то совершаются не только те
переходы, которые не выводят ее из равновесного состояния, но и те,
которые выводят. Однако система не может "уйти" из равновесного состояния
слишком далеко, поскольку при удалении от равновесного состояния
хаотичные переходы из одного микросостояния в другое создают
упорядоченное движение системы в направлении равновесного состояния. В
результате она движется в окрестности равновесного состояния -
флуктуирует.
§ 6. Флуктуации 57
Воспользуемся тем же приемом, что и при вычислении (6.3):
(6.6)
= р ^р -^-(р + чТ = рИр + я)п 1 + рФ - i)(p + ^)" 2]-
С учетом того, что р + q = 1, получаем <m2>e = npq + и2р2.
Отсюда по формуле (2.26) для дисперсии находим <(Лт)2> = <т2> - "т"2 =
ирд.
Следовательно, стандартное отклонение равно
(6-7)
(6.8)
а= |/<(Лт)2> = )/вд.
(6.9)
Это равенство показывает, что стандартное отклонение растет медленнее,
