Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
одинаковы и неразличимы между собой. Поэтому два размещения, отличающиеся
один от другого только тем, что в них поменялись местами два предмета,
принимаются одинаковыми. В этом случае при каждом размещении т предметов
можно произвести т\ перестановок, которые не изменяют размещения.
Следовательно, на основании (5.3) искомое число способов
С(п, т) = п\/[т\(п - т)!].
В этом случае размещения различны, если заняты различные комбинации мест,
независимо от того, какой комбинацией из т предметов эти места заняты.
Поэтому
# Система "не знает", какое макросостояние является наиболее вероятным.
Она переходит из одного микро состояния в другое, не отдавая предпочтения
какому-либо из них. Однако подавляющее число переходов осуществляется в
направлении равновесного состояния, в результате чего делается
заключение, что полностью хаотичные переходы из одного микросостояния в
другое создают упорядоченное движение системы к равновесному состоянию.
46 1. Статистический метод
фотография, на которой т людей занимают места с 1-го по m-е,
отлична от
фотографии, на которой они занимают места со 2-го по (т + 1)-е, но
одинакова
с фотографией, на которой они по-прежнему занимают места с 1-го
по m-е, но
порядок их рассадки по этим местам каким-либо образом изменился.
Например, двое одинаковых мужчин (т = 2) на трех стульях могут быть
рассажены
3![2!(3 - 2)!] = 3 способами:
Наконец, остается ответить еше на один вопрос. Г1\С1Ь имеется п различных
предметов. Спрашивается: сколькими способами можно выбрать из них группу
из т предметов, чтобы все группы были разными (отличаются составом
предметов)? Порядок предметов в группе не играет роли. Эту задачу можно
решить следующим образом. Если в группу входит один предмет, то из п
предметов можно образовать п различных групп. Различные группы из двух
предметов образуются так: каждый из различных п предметов комбинируется
оставшимися п - 1 предметами, т. е. общее число комбинаций п (п - 1).
Однако комбинации, отличающиеся лишь порядком, считаются одинаковыми.
Число перестановок для двух предметов равно 2!, и, следовательно, общее
число различных групп по два предмета, которые можно образовать из п
предметов, равно п(п - 1)/2! Продолжая эти рассуждения, приходим к
выводу, что число способов, которыми можно выбрать т различных предметов
из п различных предметов,
С (п, т) =
п (п - 1) (п - 2)... [п - (т - 1)]
т\~
п\
т\(п - т)\
(5.5)
Эта формула по виду совпадает с (5.4), но ее смысл и значе- jg^ ние
входящих в нее величин совершенно другие. Пусть имеется группа из трех
человек (и = 3) - мужчина, женщина, ребенок, образующие группу
"предметов", из которой производится выборка подгруппы:
Ясно, что группа "предметов" полностью удовлетворяет условиям
применимости формулы (5.5). Напомним еще раз, что как в полной группе,
так и в выборках по подгруппам порядок следования "предметов" или их
взаимное расположение не имеет значения. Из них можно сформировать группы
по т = 2 человека. Число различных групп равно 3 ! [2! (3 - 2)!] = 3:
§ 5. Вероятность макросостояния 47
Расчет вероятности макросостояния. Обозначим: V- объем, занимаемый
идеальным газом, п - число частиц, находящихся в нем. Число ячеек,
которые могут занимать частицы, равно N - V/d3, где d " 10"30 м3. Это
число очень велико, и всегда соблюдается условие N Р п. Найдем
вероятность &{Vlt т) такого макроскопического состояния системы, при
котором в некотором фиксированном объеме Vu составляющем часть объема V,
находится т частиц (рис. 6). По условию задачи, Vl ^ V, т ^ п. Но, кроме
того, объем Vl не должен быть слишком малым и должен содержать по крайней
мере т ячеек, в которых могли бы помещаться т частиц. Число ячеек в
объеме Vt равно Nl - Vl/d3, поэтому N^^m.
Общее число микросостояний равно, очевидно, числу способов, которыми
можно разместить п частиц по N ячейкам. Предполагается, что частицы
отличимы друг от друга (например, пронумерованы). Это означает, что два
микросостояния, в которых частицами заняты одни и те же ячейки, различны,
если, например, две частицы поменялись местами в каких-то ячейках. Здесь
следует обратить внимание на то, что рассматриваемые частицы совершенно
одинаковы по свойствам. Поэтому свойства двух микросостояний, в которых
частицы обменялись местами, должны быть совершенно одинаковыми; тем не
менее мы считаем эти микросостояния различными. Это имеет вполне
определенный физический смысл. Например, системе требуется определенное
время для того, чтобы пройти эти кажущиеся одинаковыми микросостояния.
Поэтому для полного числа микросостояния системы в соответствии с
формулой (5.3) получаем
Г0 = N\/(N - п)\ (5.6)
Вычислим число микросостояний, посредством которых реализуется
рассматриваемое макросостояние, когда в объеме Vx содержится т частиц.
Обозначим это число Г(Fb m). Если в объеме Vx имеется т каких-то частиц,
то общее число микросостояний для них
6. К вычислению вероятности ч хт
