Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
чем общее число частиц в системе, в то время как среднее (6.4) растет
пропорционально числу частиц в системе. Это означает, что относительное
стандартное отклонение убывает с ростом числа частиц в системе:
Физическое содержание формулы (6.10) чрезвычайно важно. Перепишем эту
формулу для данного случая в виде
При Vi-+V относительная величина флуктуаций стремится к нулю и при V1 = V
становится равной нулю, поскольку во всем объеме полное число частиц
фиксировано, равно п и никаких флуктуаций числа частиц нет. При
уменьшении Vt относительная величина флуктуаций возрастает. При Vt V
можно в (6.11) пренебречь единицей по сравнению с (К/Ц) >1 и написать
формулу в виде
где п = (m}V/V1. Из (6.12) видно, что относительная роль флуктуаций
возрастает с уменьшением области, в которой эти флуктуации
рассматриваются. Например, если взять область, в которой в среднем
находится всего несколько частиц, то относительная величина флуктуаций
составляет весьма заметную долю числа частиц. Если область столь мала,
что в среднем в ней находится всего 10 частиц, то относительное
(6.10)
(6.11)
1/<(Аш)2) <т>
/ V
Vl ]/n
V 1 1
(6.12)
58 1. Статистический метод
стандартное отклонение достигает примерно 1/3. Если же при нормальных
атмосферных условиях взять объем 1 мм3 = 10 ~3 см3, то в нем в среднем
содержится <т) = 2,7-1016 частиц, а относительное стандартное отклонение
меньше 10"8, т. е. является очень малой величиной. Поэтому в
макроскопических системах статистические флуктуации незначительны. Можно
с большой точностью считать, что величины равны своим средним значениям.
Рассчитаем относительную величину флуктуации с помощью распределения
Пуассона:
<т2> = ?
оо
т2((т))т с_^ _ л [т(т - 1) + m]"m>f _
ml
т-2
и, следовательно, <(Ат)2) = <т2> - (<т))2 = <т>,
]/<(Ат)2> 1
|/(т)
что, как это и должно быть, совпадает с (6.12).
Все только что сказанное относительно флуктуаций в системе идеального
газа имеет общее значение и применимо также ко всем другим системам. Это
очевидно из того обстоятельства, что при выводе всех соотношений
использованы только общие статистические свойства системы и не
использованы какие-то специальные соображения, применимые только к данной
системе. Однако целесообразно рассмотреть этот вопрос и в общем случае.
Относительная величина флуктуаций. Пусть F характеризует систему п
частиц, являясь суммой соответствующих величин, относящихся к частицам
системы:
F=%f* <613)
9 Относительная роль флуктуации уменьшается с увеличе-
нием области и среднего числа частиц в ней. Поэтому в макроскопических
системах статистические флуктуации незначительны и с большой точностью
все величины равны их средним значениям.
О 1. Почему флуктуации нельзя характеризовать просто средней
величиной отклонения от среднего?
2. Какими общими свойствами зависимости стандартного отклонения и
средней величины от числа частиц системы объясняется уменьшение
относительной роли флуктуаций с увеличением числа частиц?
§ 6. Флуктуации 59
где /1 - значение / для i-й частицы. Например, если F - кинетическая
энергия всех частиц системы, то ft - кинетическая энергия i-й частицы.
Среднее значение величин, входящих в формулу (6.13), можно вычислять как
по времени, так и по ансамблю. Согласно эргодической гипотезе, результат
будет одинаков. Поэтому усреднение обозначим, как обычно, знаком < ) без
указания
переменных, по которым производится усреднение. Из (6.13) следует
(6-14)
?= 1
Отметим, что <F> здесь не есть сумма энергий всех частиц какой-то системы
в некоторый момент времени, деленная на число частиц. Эта величина
является именно либо средней по времени от суммарной кинетической энергии
всех частиц данной системы, либо средней по ансамблю систем частиц (число
систем в ансамбле iV->oo). Аналогичное замечание относится и к (/}.
Все частицы в системе равноправны, поэтому средние <^> для всех частиц
одинаковы:
</(> = <//> = ••• = </>¦ (6-15)
Поэтому (6.14) запишем в виде
(F} = п </>. (6.16)
Рассчитаем среднеквадратичное отклонение F от среднего значения <F>. По
определению,
AF = F - <F> = ?(/< - </" = ? АЛ- (6.17)
Возводя обе части равенства (6.17) в квадрат и усредняя полученное
выражение, находим
<(ДЛ2> = < Ё 4/i 46> = Ё "АЛ)2) + I <АЛ АЛ). (6-18)
i, j= 1 i=l ijtj
Сумма в правой части (6.18) разбита на две части. Первая сумма объединяет
члены с одинаковыми индексами, а вторая сумма - с различными. Ясно, что
<A/i Afjу = 0, поскольку отклонения A/j и А/,-, относящиеся к
разным частицам,
между собой независимы и при усреднении дают нуль. В первой же
сумме
((Af,)2) у всех частиц одинаковы ввиду равноправности частиц. Поэтому
(6.18) принимает вид
<(AF)2> = и<(Д/)2>. (6.19)
Из (6.16) и (6.19) для относительного стандартного отклонения получаем
1/<(AF)2> _ l/^AO2) J_ <F> </> ]/n '
(6.20)
60 1. Статистический метод
Формула (6.20) доказывает в общем виде, что относительное стандартное
отклонение величины, относящейся к системе частиц, убывает обратно
