Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1G. Получите общую формулу для удельной теплоемкости в нелинейной
теории спиновых волн. Покажите, что первая низкотемпературная поправка к
линейной теории, как и для m (Т), пропорциональна 7'4. Покажите, что
вблизи Тц для произвольного s, с (Т) - (Тв- 7')_1/г в случае простого
кубического ферромагнетика с взаимодействием ближайших соседей. Указание.
Последнее можно выполнить без разложения функции Бозе - Эйнштейна,
воспользовавшись графическим качественным анализом уравнений.
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ2)
Теория спиновых волн становится непригодной выше Тс, а возможно, и при
значительно более низкой температуре (ср. с нелинейной теорией спиновых
волн). Теория молекулярного поля в приведенном простейшем варианте,
вообще говоря, не может быть правильной выше Тс, поскольку она
предсказывает отсутствие ближнего порядка; даже усовершенствования этой
теории страдают теми пли иными недостатками.
До сих пор нет замкнутой теории, которая могла бы надежно предсказывать
критическую температуру произвольного трехмерного ферромагнетика и его
термодпнамическое поведение при тем-
Н Согласно данным неопубликованной работы Маттиса и Горвпца.
2) Этот раздел написан на основе работы 118].
328
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
пературах выше Тс, поэтому представляется интересным разложить
статистическую сумму и все другие полученные из нее термодинамические
функции по обратным степеням температуры и последовательно вычислить
коэффициенты при всех членах. Это дает не только надежный прямой способ
сравнения моделей (например, Изинга или Гейзенберга) с экспериментом, но
позволяет с помощью мощной техники экстраполяции (например, приближения
Падэ [19]) даже оценить природу фазового перехода в точке Тс, используя
для этого связанные между собой данные о высоко-и низкотемпературных
рядах.
Задавая матрицу плотности
р = е-&?/кт (128)
и определяя термодинамическое среднее {ТА) оператора R
,nN _ Sp{Rp} <Rp>
кК)тА Sp |р} <p) '
<R,-i<w+-A(J_r 1 1 / 1 \2 ' 1-*г'">+жЫ
где (R) = Sp {R}/Sp {1} - среднее значение R, эквивалентное
термодинамическому среднему при Т = со. Находящееся в знаменателе
разложение по степеням Т'1 может быть "перенесено" в числитель
(Юга = (<Ю <Rcm+4f ( *!r)2 W2}- • • • ) Х
Х I1 + W ТГ (<й?,)) + ' ' • ) ' (130)
Эта формула достаточна для вычисления почти всех важных термодинамических
функций, за исключением магнитной восприимчивости. Для вычисления
последней удобно разделить гамильтониан на две части
#е=#е1+Ш2, (131)
где h - магнитное поле (т. е. принято 1/2gp.B = !)¦ К и Шч добавлены или
вычтены подходящие константы (если это нужно), чтобы средние значения
обращались в нуль
получаем
(Юта
<(r)^1> = <^2> = 0. Тогда восприимчивость равна
(132)
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
329
и в силу (18)
х = -^ да + (^г)2 (- у wise,) - у (с^г^да) +
+ (^г)3( ---^да да+-^<^да +
+ у (^2^i^2^?i) + | кШгЗе\(r)г)) + • ¦ ¦ ¦ (134)
Все величины в скобках - шпуры, т. е. суммы, содержащие матричные
элементы спиновых операторов, если $? относится к модели Изинга или
Гейзенберга. В модели Изинга все операторы коммутируют, поэтому остается
только проблема счета; если возникают нечетные степени (S()2p+1, то их
шпур обращается в нуль; в случае четных степеней шпур можно легко
вычислить; в частности для спинов, равных 1/2, (?р2 = V4 = const, и
вычисление шпура тривиально.
В модели Гейзенберга возникают смешанные произведения операторов, к тому
же их различные декартовы компоненты не коммутируют. Мы включили в этот
раздел табл. 8.1 из работы Амблера, Эйзенштейна и Шули [18]; в ней даны
все возможные комбинации операторов вплоть до произведений из 6 членов.
Те операторы, которые можно получить циклической перестановкой из
перечисленных операторов, опущены.
В последнее время получила существенное развитие теория, связанная с
разложением по "связанным кластерам"*), частным случаем которой являются
приведенные разложения. Работы по этому вопросу указаны в библиографии,
стр. 396. В применениях этой теории широко используется теорема Вика,
которая позволяет представлять появляющиеся в шпурах большие произведения
операторов в виде произведения шпуров, содержащих одновременно только по
два оператора. Эта теорема и все методы, а также традиционные приемы
термодинамической теории возмущений могут быть приспособлены к изучению
спиновых систем при помощи следующего приема: 1) для спинов s = V2
используется любое из представлений с помощью фермионов (гл. 3, стр.
110); 2) для произвольных спинов используется представление с помощью
спаренных бозонов Швингера, как это впервые сделал Дэвис [20] 2).
Основанием для того, чтобы прибегнуть к таким заменам, служит то, что
спины не обладают столь простыми коммутационными свойствами, как фермионы
или бозоны, потому что коммутатор (или антикомму-
*) В подлиннике "linked cluster expansions".- Прим. ред.
2) Отметим, что для Т ф 0 шпур берется лишь по тем состояппям, в кото-
