Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маттис Д. -> "Теория магнетизма" -> 129

Теория магнетизма - Маттис Д.

Маттис Д. Теория магнетизма — М.: Мир, 1967. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyamagnetizma1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 148 >> Следующая

0) и тогда поймем причину, почему до сих пор не найден метод решения в
том случае, когда добавляется третье измерение.
РЕШЕНИЕ В ПУЛЕВОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Из исследования модели ХУ (гл. 6) видно, что в результате принципа Паули,
согласно которому StSf = 0 волновые функции линейной цепочки спинов х/2
обладают свойствами фермионов. Это позво-
zp = Vp,
РЕШЕНИЕ В НУЛЕВОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
341
ляет предположить, что введенное на стр. 110: ферми-представле-ние
спиновых операторов в данном случае может оказаться полезным.
Действительно, оказывается, что это представление приводит к простому и
естественному решению двумерной модели Изинга (хотя в магнитном поле оно
непригодно не только для случая трех и более измерений, но даже для
двумерной модели!). Рассмотрим представление
2 Kj 2
Ст = ( - l)3<m От, С%i = ( - 1)1<т (Jm, П т = СтСт = От@т- (31) Обращая
эти формулы, имеем:
2 п j
От = ( -1)5<т ст и Т. д. (32)
Легко проверить, что с - это антикоммутирующие ферми-опе-раторы
СтРт' "Ь Cm'Cm = (cm, Ст'} = {Cm> Cm'} = 0,
(33)
{Cmi = Cm | 0) = 0.
Составим основные произведения операторов, которые встречаются в Vti 2-
^ ~ S СтСт ~ S Umi
ОттЛт-fl - ст^т+1;
(r)тОт+1 = стСт+(34)
О'тО'т+1 ~Ст+1ст~- СтСт+1-
Квадратичные формы в спиновых операторах остаются квадратичными формами и
в ферми-операторах вследствие однозначности выбора ближайших соседей в
случае линейного упорядочения (ситуация, аналогичная модели XY, см. стр.
212). Трудности, возникающие с учетом взаимодействия соседей, следующих
за ближайшими, типичны; с ними мы столкнемся при распространении теории
на трехмерный случай, когда R обозначает уже не строку, а плоскость
спинов. Именно в этом случае невозможно пересчитать последовательно
каждый спин и его соседей, поэтому возникают члены вида
2 П;
а?,ат+Р = с?(- 1)>"<3<(tm)+р ст+р.
В таких случаях преобразования (31) и (32) не дают никакой практической
пользы.
312 9. МОДЕЛЬ ИЗИНГА
Возвращаясь к поставленной задаче, т. е. к оператору
V = (2sh 2КС)М/2^
и уравнению для собственного значения
Vp = zp, (36)
следует отметить, что оно было бы обычной квадратичной формой, если бы не
экспоненциальные члены. Но пусть это нас не беспокоит. Вначале, как
всегда, сделаем каноническое преобразование к бегущим волнам сд:
"-гл/4
Ст^~ум 2 еЧтся' ('^
Q
причем с* получаются эрмитовым сопряжением, а фазовый множитель
введен для удобства (что будет видно в дальней-
шем). Затем представим матрицы Vj, 2 в виде произведения матриц V,,2(g):
Vt = const = const Д e-2*i(n,+n_9_i) (3g)
g>0
И
V, = Д e2K2[cos ?(n9+n_9)+sin в(с,с_ч+Э.с.)] _
q> 0
Мы преднамеренно опустили множитель с q - 0, но в действительности вблизи
истинных значений волновых векторов q Ф 0. Этот вопрос, однако,
обсуждается в задачах 1 и 2.
Задача 1. Покажите, что V] (0) = е-2Ai(no-1/2)j v2(U) е(-х"по>.
Найдите
также Vj, г (л) непосредственным вычислением.
Задача 2. Покажите, что, когда N - четно, q - ^п/М, ± Зп/М, .... ± (М -
1) л/М (т.е. удовлетворяются антициклические граничные условия): когда N
- нечетно, q - 0, ± 2к/М, ± Ап/М, .... ± {М - 2) л/М (т. е.
удовлетворяются циклические граничные условия), при предположении, что М
- четно.
Указание. Тщательно исследуйте связь стм (Ц. Сравните с моделью ХУ (гл.
6, стр. 213).
Разбиение на множители очень важный этап, и его можно было выполнить
только потому, что различные операторы \ (q) коммутируют. Этот факт
отражает действительный распад на нормальные моды, что позволяет
разложить на множители саму "волновую функцию"
Р=ИР" (40)
РЕШЕНИЕ В НУЛЕВОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 343
как и собственное значение
z = (2 sh 2Ki)M/2Uzq, (41)
причем р9 и Zq представляют собой решение матричного
уравне-
ния ранга 4x4
^1 (?) V2 (q) Pg = ZqPq. (42)
Здесь
v1(?) = <r2Xl(Vt_n-9_1),
V2(9) = C+2K2[COS?<n9+n-9,+Sin9(C9<:-9+3-C-):l ЧФ О, Л. (43)
Ути уравнения сводятся к матрицам ранга 2x2 для q = 0 и л (см. задачу 1).
Матрицы ранга 4x4 имеют четыре собственных значения, но
мы можем разложить на множители еще две из них, принадлежащие собственным
функциям
Фа =с? 10) и ф2 = с*9|0). (44)
Эти функции должны быть собственными функциями оператора V (q) = Vi (q)
V2(q), так как последний имеет недиагональные матричные элементы только
между пустыми и дважды заполненными состояниями
Фз = | 0) и ф4 = С-9С* ? | 0); (45)
ф! и ф2 - собственные функции всех членов в экспонентах (43). Поэтому
проверкой можно убедиться, что
Zi, " == z2, g = cos 9 (46)
- два первых решения уравнений (42). В подпространстве пустых и дважды
занятых состояний матрицу V (q) можно переписать через псевдоспиновые
матрицы (Паули)
т~ = п9-(-п_9- 1 собственные значения ^ 1,
т* = счс-ч + c*LqCg собственные значения +1 (47)
н
Т'J~i{CqC-q - clqCq) ТО Жв СаМОе.
В этих обозначениях
Vj (q) v2 (q) =e-2K1Tze+2A-2[cost|(Tz+l)+sinQ(-t:t)]
= [ch 2Kl - r sh 2Ki] x X e2A'2 [ch 2K2 -f (tz cos q + x* sin q) sh 2K2\
-
= e1Kn- [(ch 2Ki ch 2K2 - cos 5 sh 2A'1 sh 2K2) H--)-T''c(sin q sh 2A'2ch
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 148 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed