Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
Hra = 2/<^S6>7,.L. (1U9)
6
Обычным образом можно вычислить (S;)T^, а затем решать уравнение
молекулярного поля
(Si/rA = (S;>ta Для всех i, /. (110)
Температура, при которой основное уравнение перестает иметь
только тривиальное решение, является температурой Кюри - Вейсса {Тс - 0),
при которой Х = С/(Т - 0) -> оо (см. задачу 17):
kQ = 4 Js2
(i + i). (Hi)
Совпадение выводов теории, развитой для случая высоких температур, с
выводами, полученными для случая низких температур, попс.тпне
поразительное. Но очень точные методы экстраполяции высокотемпературных
рядов [см. (138)1 показали, что обг оценки завышены примерно на 30%.
'Гакам образом, разумно полагать, что линейная теория спиновых волн
справедлива в области
0 ;; Т < Тс, (112)
О
если s 1. Заметим, что разложения в степенной ряд (103) гораздо более
ограничены, 0 Т Т..
Задача !1. 1Г а; i (что па а Урааиеиты В"12 в выражении (103) длл п.-
(Т). Могут л чл годиться слг lysrifiMie сиитлишоиил:
Дзета -функции Рпмана
со оо
l'АЛ------ ' Г.-i - ^ -L
4 1" . ' Ь - ,1- ' о I
Е( )) =;!:,
=1.127, С (оо) - 1.
Гамма-фумкцпя
Г (.") = (i - 1) Г (s-1), по ">1, Г (1)--1 И г (у) ¦- Угл.
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
323
Задача 12. Вычислите удельную теплоемкость ферромагнетика с простой
кубической решеткой при низких температурах, а также в окрестности Тс.
Как сравнить закон Дюлопга п Птп при наиболее высоких температурах с
теорией молекулярного поля? Начертите кривые удельной теплоемкости,
соответствующие каждой теории, обратив особое внимание на их пересечение
и па значение вблизи Тс.
Задача 13. Повторите приведенный в тексте анализ для модели ближайших
соседей в антиферромагнетике, используя выражения (172) - (177) гл. 6 для
получения соответствующих формул и численных значений существенного
интеграла. Как сраннпть КТ,\ с величиной молекулярного поля? Какие
степени появятся в разложении в ряд при низких температурах?
Замечание. Метод функции Грина, использованный в книге Бонч-Бруевича и
Тябликова [14], приводит к результатам, которые находятся в согласии с
приведенным здесь уравнением (107). Поэтому этот метод не дает, по-
видимому, существенного преимущества по сравнению с общепринятой линейной
теорией спиновых волн ниже температуры Кюри. Во всяком случае, можно
утверждать, что эта теория не страдает недостатками, присущими нелинейной
теории спиновых волн, о которой мы подробно будем говорить в следующем
разделе. Более поздние работы Тахир-Кели, Каллена и др. по развитию
метода функции Грина сулят большие перспективы для дальнейшего уяснения
модели Гейзенберга; однако даже наилучшее приближение еще недостаточно
хорошо для адекватного понимания природы фазового перехода при Т = Тс.
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
При изучении теории спиновых волн мы установили, что если справедливо
разложение по степеням s-1, то основная "перенормировка" энергии магнонов
может быть выполнена заменой йшк на ек, где
ек = Г(й)к - V {Tim,--!- йык_к-- йш0} пк<. (113)
к'
В термодинамической теории понадобится только вычислить термодинамическое
среднее от правой части. Для связи с предыдущими обозначениями положим
термодинамическую среднюю энергию магнона равной hcok (Т) = {?кПА-
Т,ик (7) = (0)-
- ж ^ {/,Шк (°) + П"к' (°) ~ Й"к-к' (0) - Йыо (0)} <пк-)тд, (114)
к'
21 *
324 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
где Лсок (0) = 7ю)к - энергия магнона согласно линейной теории.
Определение функции Бозе - Эйнштейна
(Пк')тА = рьц, (Г) (115)
е л - 1
и уравнение (114) образуют, систему неявных уравнений для определения
спектра магнонов как функции температуры.
Для решения этих уравнений в качестве примера снова воспользуемся моделью
простого кубического ферромагнетика с взаимодействием ближайших соседей.
При решении будем придерживаться работы Мишелин Блох [15]1). С помощью
выражения (97) для энергии линейных спиновых волн и непротиворечивого
предположения
(Пк')тА = + (П_к') ТА* (116)
обусловленного изотропией (в случае нечетного решения потребовалось бы,
чтобы (Пк')ТА было отрицательным для некоторых направлений, что
невозможно для оператора со спектром 0, -)- 1, -)- 2, ...), мы находим
вклад г-компоненты в сумму по к'
1 + cos кха cos к'ха - cos кха - cos кха = (1 - cos кха) (1 - cos кха)
и такой же вклад у- и z-компонент. И наконец, полностью использовав
преимущества кубической симметрии, преобразуем уравнение (114) к такой
форме:
Й(ок (71) = (ftcok) ^ 1 67VJs2 2 • (И7)
к'
Итак, имеется один параметр, зависящий от температуры,
b = 2Ш* 2 П(йк' <п*'>га, (И8)
к'
который входит в формулу для всех магнонов; мы определим его значение,
использовав уравнения (115) и (118):
, _ 1 у _
- 6NJs2 ^-1 .
к' е -1
a?2Js П(*а dkxdkydkz(3 - cos кха - cos к^а - cos Агя)
67s2 (2it)3 ) рлшк
- п/а е -1
ОО
= 2 е~3п^1 (пё) Ih (пё) ~ h ("?)]¦ (119)
п=1
*) См. также обобщение этой модели (модель учитывает взаимодействие не
только ближайших соседей) в работе Хорвица и Маттиса [16].
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
