Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
более измерениям.
Пудем считать каждую строку (R) системой с 2й независимыми состояниями.
Позднее мы совершенно естественно определим, каким образом эти состояния
перенумерованы, поэтому не будем заниматься этим вопросом заранее. Пусть
;-му состояпию исходного ряда Е0 приписана вероятность Pj, причем сумма
вероятностей равна единице, и пусть набор этих 2Л/ чисел будет
МАТРИЦА ПЕРЕХОДА
335
расположен как компоненты вектора в виде столбца
Назовем это выражение вектором вероятности, или приведенной матрицей
плотности ряда Ra. Оба названия равнозначны.
С (0,7) Ро (0,2) р я- (0,3) .. ( р 0,М) J
< < (1,1) (1,2) (1,3)... (1,М) > ) (N,M)
Jl > ¦¦ и С 3 ; (п,тп)
4 * . и
( N,D ) ¦ ¦< (N,2) (N,3)... п
фиг. 9.1. Двумерная решетка Изинга, состоящая из TV + 1 строк и М
столбцов, п которой пулевая строка относится к состоянию в термостате.
Если мы затем определим SS(R\, Ro) как часть гамильтониана, содержащую
внутренние по отношению к строке Rt связи и связи между /?, и R0, то
вектор вероятности для строки R{ получается суммированием по всем
состояниям R0 со всеми соответствующими им вероятностями, т. е.
2)Р1 (/?,) = sPl {е-еда№*о>Ро (/?")), (5)
где множитель Больцмана имеет свое обычное значепие термодинамической
вероятности, о которой говорилось в предыдущей главе. Нормировочный
множитель zt в левой части берется таким, чтобы вектор вероятности р,
(/?j) был правильно нормирован, т. с. сумма всех его членов, являющихся
вероятностями, должна
336
9. МОДЕЛЬ ИЗИНГА
равняться единице [как в выражении (4)1. Остается сделать всего несколько
шагов, чтобы вывести все важные формулы для матрицы перехода.
Предположим, как показано на фиг. 9.1, что нулевая строка описывает
состояние в термостате, находящемся при температуре Т (Р = 11кТ), и
обладает тем свойством, что приведенная матрица плотности строки R0 есть
матрица, соответствующая строке спинов при этой температуре. Поскольку в
правой части (5) оба множителя характеризуются температурой Т, то,
следовательно, Pi C^i) - тоже приведенная матрица плотности,
соответствующая этой температуре для спинов строки Rt. Этот процесс можно
продолжить для строки Д2 и т. д., и мы получим
zp (Rn+i) = Sp" {в-РЛКЯ'нь я">р (Дп)} (6)
в качестве универсального уравнения для равновесной матрицы плотности р
(R) и собственного значения z. Статистическая сумма может быть выражена
просто:
Z = SP2v Spff-, SpA--2 {... Sp0 я">р (До)} ...}}=
= SpNp (Rn)-zn= (7)
= zN.
Чтобы перейти ко второй строке, мы воспользовались приведенным выше
уравнением (6) для собственного значения. Последняя строка следует из
условия нормировки, которое формально дается
Sp" р (Д") = 1. (8)
Предыдущий вывод наиболее ясен, он основан на уравнении (6),
статистической функции (7), условии нормировки (8), и требовании, чтобы
все слагаемые р (R) были полон"ительными, так как они интерпретируются
как вероятности. Однако мы можем исследовать еще и циклическую задачу, в
которой первая строка непосредственно связана с N-й и из рассмотрения
исключены нулевая строка и термостат. Уравнение (6) опять
может быть
использовано для диагонализации полной матрицы плотности,
но теперь нужно рассматривать все 2м собственных значений. Тогда
статистическая сумма равна
2м
2цикл = 2 *"¦ (9)
г= 1
По теореме Фробениуса наибольшее собственное значение матрицы, все
элементы которой положительны, принадлежит собственному вектору, все
компоненты которого тоже положительны. Два таких собственных вектора,
вообще говоря, не могут быть ортогональными, поэтому такое состояние в
общем случае невы-
ИСКЛЮЧЕНИЕ ШПУРА
337
рождено. Поэтому можно отождествить полученное выше р (R) с собственным
значением z. Обозначим другие собственные значения по порядку убывания их
величины: z = zlt затем z2 и т. д., так что статистическая сумма
становится равной
2м 2м
znMU, = z-2 (-^)" = z-2 e-'vintz/^. (10)
r=l r=l
Различие между In ZvlKn и In Z, как легко видеть, по своей природе -
краевой эффект, а так как In Z - величина экстенсивная, то она порядка
MN. В действительности вычислить величину краевого эффекта возможно, но
это не представляет для нас интереса.
ИСКЛЮЧЕНИЕ ШПУРА
Следующий необходимый шаг - это вычисление шпура, указанного в уравнении
(6), что приводит к уравнению типа уравнения Шредингера
гр(Д) = У(Я)р(Д), (11)
где R символически заменяет все 2м конфигураций в произвольной строке R,
а V (R) - оператор определенного вида, названный матрицей перехода.
Строчная матрица плотности р (R) будет играть роль волновой функции;
фактически она будет волновой функцией "основного состояния",
принадлежащего собственному значению оператора V.
Для вывода этого важного уравнения (справедливого также для трех и более
измерений) рассмотрим типичную связь между п-й и га + 1-й строками,-/jO^,
mon + li т, и частичный шпур, взятый только по состояниям ап, т. В
результате получается функция ф, зависящая только от ап+1, т, т. е.
Sp(7i, т) {epJ'°n' (tm)р (Rn)} = Ф (<тп+1. т), (12)
