Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
(88)
310
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ной термодинамической функцией. Дифференцируя обе части (87) по
температуре, получаем
Это совершенно общий результат, и можно показать, что в предельном случае
слабого взаимодействия он справедлив и для модели Гейзенберга, а также в
трехмерном случае как для модели Изинга, так и для модели Гейзенберга1).
Это интересный пример того, как механические свойства могут быть
использованы для исследования магнитных свойств, и наоборот. Приложения
обсуждаются в задачах 9 и 10.
Задача 9. Эксперимент дает максимальное значение а, равное ат при
температуре Тт; предположив, что спин s = V3, вычислите J (а).
Задача 10. При помощи формулы (86) для /'фон получите СфОЦ-вклад фононов
в удельную теплоемкость. При этом можно использовать соотношение
¦"Л
в окрестности Т = 0 п Т = оо.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
В первом приближении спиновые волны представляют собой бозоны, несущие
одну единицу момента % и описывающиеся гамильтонианом
Константы С и D приближенно равны обменному параметру J в модели
взаимодействия ближайших соседей, а а - параметр решетки.
Используя простую линейную теорию спиновых волн, можно получить несколько
интересных и заслуживающих внимания выводов, относящихся к влиянию
температуры и числа измерений на дальний порядок. В следующем разделе
будут проведены соответственные более точные оценки.
ft
-я
ш = 2 ?ic°ftaftaft* в котором при больших длинах волн
Ds (ка)2 - ферромагнетизм,
Cs (ка) - антиферромагнетизм.
(90)
(91)
') См. работу [8], откуда следует, что а должна иметь разрыв в точке
Кюри. В работе Карра [9] имеется обзор экспериментальных данных по
магнитострпкции.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
317
Термодинамические средние значения чисел заполнения представляют собой
знаменитую функцию Бозе - Эйнштейна, ее можно получить из статистической
суммы для бозонов (84) при помощи следующего приема:
/у, \ 1_______dZft____1^ tJFh 1________ _______1_
!*Wta dha>k 2 - ahu>k 2 " ' '
Если возбудить Ns магнонов, спонтанная намагниченность ферромагнетика
обратится в нуль. В случае антиферромагнетика можно считать, что если
возбуждено Ns магнонов, то намагниченность подрешеток, или
антиферромагнитный дальний порядок, также обратится в нуль. Поэтому мы
исследуем неявное уравнение для Тс (или Ту)
iVs = 2 <п*>га= ( 2^-)d I dk(e^-i)~K (93)
k 3. Б.
Здесь d = 1, 2, 3 - число измерений.
Разумно предположить, что отсутствие дальнего порядка проявится в
расходимости интеграла при малых к, т. е. при больших длинах волн; в этом
случае единственным решением приведенного уравнения должно быть Тс = 0. В
одномерном случае оба интеграла
^ dx(ePnsx'- I)-1
и
^ dx (e$Csx- l)-1
расходятся при х = ка -0, что подтверждает для одномерного случая
отсутствие дальнего порядка при любой конечной температуре. Эти
соображения, однако, не вполне строги. Если есть энергетическая щель, то
интеграл может не расходиться; тем не менее отсутствие дальнего порядка в
одномерном случае можно доказать в общем виде при помощи следующих
простых соображений.
Чтобы разорвать длинную цепочку, состоящую из N спинов, на две
нескоррелированные цепочки длиной N± и N - соответственно требуется
затрата энергии rJ, где г - число нарушенных связей (величина порядка
единицы). Это разрушение дальнего порядка можно осуществить N различными
способами, каждому способу соответствует свое положение разрыва. Таким
образом, разбиение меняет свободную энергию на величину
6F = rJ-kTlnN. (94)
Для любой конечной температуры преобладает энтропийный член In N (за
исключением аномальных взаимодействий, соответствующих г > In N). Как
было показано в задаче 6, корреляция между
318
¦s. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
двумя спинами уоывает экспоненциально с увеличением расстояния в
отсутствие приложенных (т. е. упорядочивающих) магнитных полей. В
двумерном случае энергия, которая требуется для разделения плоскости,
содержащей \^N у. {f N спинов, на две некоррелированные плоскости,
порядка N, поэтому не представляется энергетически выгодным разрушать
дальний порядок при любой конечной температуре.
Но в двумерном случае интеграл
dxx{e(r)Dsxi - 1) 1
по-прежнему расходится при .г = 0, поэтому двумерная модель Гейзенберга,
или двумерный набор спиновых волн, термодинамически неустойчива.
Интересно отметить, что на языке квантовой механики линейная теория
спиновых волн, которую мы до сих пор применяли, сама по себе неверна для
модели Гейзенберга в одномерном и двумерном случаях. В предыдущей главе
было доказано, что два или более магнона в одномерном и двумерном
ферромагнетиках образуют связанные состояния, которые не обладают
свойствами обычных магнонов. Здесь квантовомеханическая неустойчивость
отражается и в термодинамике.
Этого не происходит в случае двумерного антиферромагнетика1), а также для
трехмерных ферро- и антиферромагнетиков. Так, в случае трехмерного
ферромагнетика мы найдем относительную намагниченность т (Т) = all (T)hJl
