Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
требуемым свойством обращения в нуль при t = 0, имеет вид
\\{t)-=At, откуда At = -' (52)
Иначе говоря, мы сначала предположили, что параметр упорядочения линейно
зависит от t (А - постоянная), а затем использовали уравнение (50) для
того, чтобы ограничить возможный вид функций git 2 в разложении Fu
которые в противном случае
были бы произвольными. Наконец, проще всего удовлетворить
последнему уравнению, положив
gr const и g{(t) =-2Atgz. (53)
Нужно еще определить физический смысл величины л- Эта величина может
содержать только четную степень намагниченности, так как последняя
является векторной величиной. Нечетные степени ц не могут появляться в
свободной энергии. Поэтому, еще раз делая наипростейшпй возможный выбор,
предполагаем
ц - а 11"-. (54)
Задача 5. Проверьте, что уравнении (49) - (54) соответствуют вычислениям,
основанным на теории молекулярного поля, включая -// - Д/Ус - Т\
вычислите скачок удельной теплоемкости в Тс.
20*
308
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Очевидно, что предположения, содержащиеся в уравнениях (52) - (54), в
высокой степени произвольны, и хотя они приводят к хорошему согласию с
теорией молекулярного поля (см. задачу 5), их нельзя считать ни
однозначными, ни общими. Так, чтобы получить соответствие с моделью
Изинга (двумерной), о которой речь впереди, необходимо выбрать
g2 = lnt, gi = -2Atgz и r\=JP. (55)
В антиферромагнетиках даже при простейших предположениях может
понадобиться ввести два или более параметра упорядочения. Эти и другие
интересные применения теории Ландау х), например к неоднородным
веществам, лежат вне рамок нашего вводного курса 2).
ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА
Первой моделью из числа тех, которые допускают точное решение, мы
рассмотрим модель ферромагнетизма (см. гл. 1, а также перечень работ в
библиографии, стр. 396). Это интересный для изучения пример. Рассмотрим
сначала гамильтониан Изинга для одномерной цепочки спинов в отсутствие
каких бы то ни было внешних полей:
N-1
<Шо= -J S GnOn+l - JOnOl, (56)
n=l
Где аг - спиновая матрица Паули
1 0
о' =
0 -1
(57)
*) См работу Белова [7], которая полностью основана на уравнениях (52) -
(54).
2) Теория фазовых переходов второго рода JI. Д. Ландау исходит из
предположения о возможности разложить F (Г, т|) (свободная энергия в
состоянии частичного равновесия с заданным значением р) по степеням р.
Иначе говоря, она предполагает отсутствие особенности у функции F (Т, р)
при р = 0. Между тем, уже само это предположение внушает сомнение, так
как двумерная модель Изинга ему не соответствует. Тем не менее
равновесное значение F, которое получается путем экстремизации F (Т, р)
по р, может быть формально получено подгонкой особенностей в
коэффициентах gt(t) и g2(t). [См. уравнение (55).]
Теория фазовых переходов второго рода Ландау подробно изложена в курсе:
Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Статистическая физика, М., 1964 (§ 137-
141). Применение общей теорпи фазовых переходов второго рода к
ферромагнетизму описано в книге: Л.Д. Ландау, Е. М. Лившиц,
Электродинамика сплошных сред, М., 1957, § 36.- Прим. ред.
ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА
309
с собственными значениями +1. Исходя из явного выражения для
гамильтониана, желательно получить вначале статистическую сумму, а затем
различные представляющие интерес термодинамические функции. Один простой
способ выполнения этой программы состоит в использовании того факта, что
каждая связка имеет только две степени свободы, зависящие от того,
параллельны или антипараллельны спины. Формально мы можем определить
новый набор из N спиновых матриц Паули
тп = апап+1, tn = ол-ai, (58)
которые имеют такую же структуру, как и матрица (57), и те же собственные
значения ±1- Следовательно, статистическая сумма равна
N N
Z0 = Sp { П j = Г1 (efU - e-pj) = (2 ch 07)". (59)
71= 1 П=1
Это выражение очень напоминает формулу (20) для невзаимодействующих
спинов, в которой h заменено на J, т. е. вместо приложенного поля стоит
коэффициент обменного взаимодействия. Как и в случае невзаимодействующих
спинов, спонтанная намагниченность в одномерной цепочке равна нулю.
Однако чтобы убедиться в этом, мы должны прибегнуть к другому методу
вычисления Z, так как указанный простой метод не годится, если есть
дополнительное (приложенное) поле Н. Поэтому далее мы рассмотрим
(Й?=(Й?0-А2°п (6°)
п
и возникающую на базе этого статистическую механику.
Снова попытаемся выразить статистическую сумму в виде произведения матриц
ранга 2x2; в этом случае
Z = UVn, где Fn = eP(J0"0"+1+/l0"), VN = e"Jewe*+Kr>. (61)
Нахождение шпура эквивалентно обычному перемножению матриц. Так, взятие
шпура по о| свертывает V2V3 в матрицу 2 X 2 в пространстве о|, azt:
VI ту ту 3(-Jcjg-l-han) 3(-h) 3(Ja^+^)
Zj Г2'з = е e 4 -j- e ^ " e 4
a3=-1
Ниже [см. (63)] приводится структура матриц Vn. Все матрицы имеют
одинаковую структуру (не зависящую от п), поэтому
Z = Sp{FA'} = zf + z? = z? (1 + е-" >"*!/**), (62)
310
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
