Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маттис Д. -> "Теория магнетизма" -> 118

Теория магнетизма - Маттис Д.

Маттис Д. Теория магнетизма — М.: Мир, 1967. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyamagnetizma1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 148 >> Следующая

где Zj и z2- два собственных значения матрицы перехода-.
Будем всегда в качестве zt выбирать большее собственное значение, так что
в предельном случае длинных цепочек (N -*¦ оо), Z -у z^.
Матрица перехода V, явно играющая весьма большую роль, получила свое
название из следующих соображений. Пусть Р и 1 - Р равны соответственно
вероятности первому спину быть направленным вверх и вниз. Тогда
вероятность того, что второй спин будет направлен вверх и вниз, Q и 1 -
Q, можно связать с Р уравнением
Коэффициент z легко найти, потребовав, чтобы векторы вероятности были
нормированы так, чтобы полная вероятность равнялась единице, т. е. чтобы
сумма их компонент равнялась единице. Как известно из обычной теории
матриц, z должно лежать между наибольшим собственным значением z4 и
наименьшим z2, если только вектор вероятности не является собственным
вектором оператора V. В этом последнем случае Р = Q, и, более того,
собственный вектор оператора V является также собственным вектором
оператора Vr, г = 1, 2, . . ., так что в собственном и только в
собственном состоянии вероятность г-му спину быть направленным вверх
имеет то же значение, что и для первых двух спинов. Таково одно условие
термодинамического равновесия. В длинной цепочке (конечно, термодинамика
применима только для очень больших ансамблей) различные спины имеют
одинаковое окружение, поэтому в состоянии термодинамического равновесия
они должны быть неразличимы. Это условие выполняется, если потребовать,
чтобы вектор вероятности был собственным вектором оператора V. Но как
произвести выбор между двумя собственными значениями z4 и z2 и между
двумя соответствующими им собственными состояниями? И здесь также можно
дать однозначный ответ. В случае меньшего собственного значения z2
невозможно выбрать собственный вектор так, чтобы сделать и Р и 1 - Р
положительными. Это серьезный недостаток, который не позволяет
интерпретировать собственный вектор оператора V как вектор вероятности. С
другой стороны, поскольку все матричные элементы V положительны, легко
проверить, что собственный вектор, принадлежащий наибольшему собственному
значению, с необходимостью должен быть составлен из членов только одного
огп^ -1 еР(-'О
(63)
z(Q, 1 -Q) = (P, 1-P)-V.
(64)
ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА
311
знака, поэтому его можно сопоставить вектору вероятности. Этот вывод
согласуется с общей идеей относительно того, что z должно иметь
наибольшее из возможных значений.
Оба собственных значения легко найти из решения обычного детерминантного
уравнения, из которого следует
zu 2 = ch РА ± У eW ch2 (ЗД - 2 sh 2fj. (65)
Но мы уже показали, что интерес представляет только положительная ветвь.
Если h = 0, то Z = (zj)-', что превосходно согласуется с предыдущим
расчетом [см. (59)].
Фиг. 8.4. Удельная теплоемкость (a) it магнитная восприимчивость (о)
одномерного ферромагнетика в модели Изинга.
Темой задачи 6 является отсутствие дальнего порядка в этой одномерной
модели. Это обстоятельство тесно связано с отсутствием спонтанной
намагниченности при любой конечной температуре (Т > 0) и с отсутствием
фазовых переходов в одномерном случае. Удельная теплоемкость в отсутствие
поля {N~ldUldT)h=о равна
c{T)=k{^fch^ry1, (66)
а магнитная восприимчивость (d://-/dh)h=o имеет вид
x~T-'2J/,,T- (67)
Графики этих величин изображены на фиг. 8.4. Легко видеть, что это
непрерывные функции температуры; таким образом, имеется существенное
отличие от результатов теории молекулярного поля.
312
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Задача 6. Покажите, что в результате применения оператора Vя к
произвольному вектору вероятности (Р, 1 - Р) [см. (64)] получается
некоторый другой вектор вероятности, умноженный на zn, причем zn
стремится асимптотически к z? (с точностью до членов порядка е~я). Если
нужно, обратитесь к гл. 3. Покажите, что конечный вектор вероятности в
пределе не зависит от Р, еслп предположить только, что Р > 0 и 1 - Р > 0.
Используйте эти результаты, чтобы показать, что споитанная
намагниченность исчезает при любой конечной температуре.
Задача 7. Получите термодинамические функции F, с = N~l dU/dT и У. для
антиферромагнитной цепочки Изинга, с гамильтонианом
МАГПИТОСТРИКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ
Несмотря на свою физическую ограниченность, модель Изинга настолько
проста, что естественно желание исследовать на этой модели эффекты,
связанные с немагнитными степенями свободы. Одним из таких примеров может
служить магнитоупругое взаимодействие. Оно не сводится к явлениям,
которые можно отнести к маг-нитострикции обычного типа, так как последняя
в основном определяется спин-орбитальным взаимодействием - движением и
ориентацией доменов и, естественно, не может быть корректно рассмотрена в
рамках одномерной модели. Но эффект однородного магнитоупругого
взаимодействия, так называемую объемную магнитосгприкцию, можно
имитировать простой моделью, основываясь на том наблюдении, что
коэффициенты связи двух соседних спинов могут увеличиваться или
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 148 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed