Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
(0)
-m-i -ar,
где
k-TQ - Dsb
2л2
\ dx х'1 (сх2 - 1)
(95)
(96)
') Используя метол доказательства, впервые предложенный Боголюбовым,
Мермеп п Вагнер | Перевод этой работы напечатан в дополнении, стр. 397,-
Прим. ргд.] сумели строго доказать отсутствие дальнего порядка для
гейзенберговских ферро- п антпферрсматметпка в одномерной и двумерной
моделях. Для заключения об отсутствии фазового перехода отсутствия
дальнего порядка недостаточно. Существование фазового перехода при
конечной температуре - наиболее интересный вывод из численных расчетов
двумерной гейзенберговской модели. Согласно упомянутой теореме,
низкотемпературная фаза не может быть упорядоченной, по скорее всего
разуно-рядоченне при низких температурах качественно отлично от
разупорядочеппн высокотемпературной фазы. Ионное о том, возможны ли
переходы из одной фазы в другую, еще не исследован. Работа, содержащая
вычисления для двумерного случая, представлена Стоили п Капланом [И] и
требует проверки-следует рассмотреть большее число членов разложения. Но,
несомненно, эти работы открывают новую важную область исследований.
ЭФФЕКТЫ ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
- знаменитый закон Блоха У5'2 (фиг. 8.5). Верхние пределы интегрирования
берутся равными бесконечности; это законно из-за быстрой сходимости
интеграла при низких температурах. (Вычисление интеграла см. в задаче
11.) Однако эта процедура, вообще
Фиг. 8.5. Экспериментальное подтверждение блохонского закона Г3/: для
нескольких ферромагнитных сплавов гадолпния [12].
говоря, неудовлетворительна, за исключением случая самых низких
температур, и нельзя, скажем, полагать, что У0 равна температуре Кюри.
Объясняется это дальше.
,1<1И1ЖКТЫ ЗОНЫ Ы'Н.1 ЛЮ311А
Дебаевская теория решеточной удельной теплоемкости дает при высоких
температурах правильное предельное значение - закон Дюлопга и Пти
ск(У) = к на одно нормальное колебание
320
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
только при учете конечного размера зоны Бриллюэна. Точно так же поведение
ферромагнетика при температурах порядка Тс требует учета того, что
область интегрирования конечна.
Рассмотрим простой кубический ферромагнетик со взаимодействием ближайших
соседей и большим значением спинов s > 1. В предыдущей главе применение
теории спиновых волн оправдывалось разложением по степеням s_1, и поэтому
эта модель в значительной мере правдоподобна.
Предполагаем
что совпадает с длинноволновым приближением (91), если выбрать D - J и
учесть, что ка < 1. Относительная намагниченность равна
П/а
Используя определение функции Бесселя мнимого аргумента
Асимптотическое разложение функции Бесселя для больших аргументов (т. е.
в данном примере для низких температур) имеет вид
*) Этот результат основан на работе Шарапа и Бойда [13], а также
неопубликованной работе Танака и Гласса.
7ia>k = 2sJ (3 - cos kxa - cos куа - cos kza),
(97)
m (T) = i - (¦^f)3 s 1 j dkxdkydkz{Jha*-1)-' =
- я /а
оо л/а
= i-(-Jr)3s-12 J dkxdkydkze-^b. (98)
n=i - я/а
rp(z) = Jp(iz) = ±r J c?0ezcos0 COSp0 _ Pl ^
- n lil-"0
получаем x)
oo
(100)
где
2 sJ g ^ kT '
(101)
oo
; 12 X32... (2r -1)2 - r! Z3r:r
1
(102)
ЭФФЕКТЫ ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
321
после подстановки в уравнение (100) это приводит к следующим рядам:
т{Т) * 1 (^-)7/2 •.. (103)
Аналогичные низкотемпературные разложения можно получить и для других
кристаллических структур при учете более далекого взаимодействия, чем
взаимодействие ближайших соседей, причем влияет это только на численное
значение коэффициентов В. Асимптотическое разложение функции Бесселя
перестает быть точным для
кТ ^ sJ.
В классическом пределе спиновый гамильтониан может быть записан в виде
ЗВ =-Js* 2 Uj-U;,
Олиж. соседи
где щ = Si/s - единичный вектор и, следовательно, кТс ~ /s2 из простых
соображений размерности (отсюда ясно, что Т0 ~ Sb/3 [см. (96)1 не
является температурой Кюри, как и было указано в конце предыдущего
раздела). Для больших, но конечных спинов s > 1 асимптотическое
разложение (102) становится бесполезным, как только
Т>\ТС. (104)
В качестве альтернативы для численной оценки суммы в (100) при
температурах кТ > 6sj можно разложить функцию Бозе - Эйнштейна по
степеням кТ/h cok. (Для s ^ 3 это справедливо в разумной области
температур, до температуры Тс включительно.) Таким образом,
удерживая только первые члены, получаем
(e^_l)-i"^_l. (Ю5)
В интервале температур Т ^ Tcs~l вычисляем
m -.4 I 1 кТ ( а \3 Т ________________dkx dky dkz_________
m\ '2s 27s2 V 2n, ) ) 3 - cos kxa - cos kya - cos kza ~
-л/а (10b)
~ 1_(_ J____kT .. W
1 + 2s 67s2 yy '
где W-интеграл Ватсона, равный 1,516 ... (см. стр. 195). Вычисляя
температуру Кюри Тс из равенства m (Тс) = 0, получаем
A:7'c = 3,96/sa(l + ^r) , s"l. (107)
21 Д. Маттис
322
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Для сравнения эту же решетку можно рассмотреть в приближении
молекулярного поля. Спин взаимодействует с молекулярным полем
(SP-Si-II,,,, (UiS)
созданным средпеи силой, источником которой являются его соседе.
