Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
уменьшаться по мере изменения расстояния между атомами. Следовательно,
магнитный гамильтониан можно рассматривать как дополнительный источник
потенциальной энергии для динамических колебаний решетки и, таким
образом, можно ожидать изменения объема и даже формы решетки. (Однако в
одномерном случае форма решетки не существенна.)
Поместим и-й атом в точку (па + хп), где а - межатомное расстояние.
Гамильтониан упругих колебаний атомов цепочки имеет вид
&В= -* S(r)n, />0.
П
а гамильтониан Изинга равен
S (^* ~Т~ ^-л+i %п)
(69)
п
Можно, как обычно, предположить, что амплитуда тепловых колебаний на один
или несколько порядков меньше а, поэтому
МАГНИТОСТРИКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ
313
параметр связи можно разложить по атомным смещениям, ограничившись
членами низшего порядка
/ (а + *n+i -xn) ^J (а) (1 + т] ^'a-, (70)
где
Г] = dJn^.Ja)_ ;__ Первый коэффициент магнптострикции. (71)
Комбинируя эти два гамильтониана, получаем 2
т = 2 [j?j+^Mul{xn+i-xny-
п
- / (а) (1 + Л о?о?+1 - he'n ] . (72)
Посредством канонического преобразования можно точно найти собственные
состояния и построить статистическую механику с помощью этого
гамильтониана. Желательно устранить перекрестные члены, которые связывают
атомные смещения со спиновыми координатами. Это можно выполнить,
сдвинув начало отсчета
движения каждого атома на величину
1 J (°) Р XI 2 2 ,7.1,
(fi)
;<п
Выполняющее такой сдвиг унитарное преобразование есть eiR, где
В = ~ 2. Рп ah Alai ^ п j<n
так что каждый оператор (в том чпсле и гамильтониан) преобразуется
следующим образом:
On->e_iR On eiR. (75)
Так как все операторы, за исключением координат хп, коммутируют с R, то
единственным результатом такого преобразования является линейный сдвиг
(73). возникающий в новом гамильтониане
"^2 "+.-аЕй]-
71
<76)
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Аналогично тому, как гамильтониан можно записать к виде суммы трех
невзаимодействующих частей: о&?фОН (фононы - решеточные колебания), 3?i
(обычный гамильтониан Изинга) и -W (постоянная энергия взаимодействия),
статистическая сумма представима в виде произведения трех сомножителей, а
свободная энергия превращается в сумму трех невзаимодействующих членов.
Уместно кратко показать, как получается статистическая сумма для фононов,
поскольку это типичный пример, в котором используют статистику и
квантовую механику бозонов. Прежде всего желательно выразить рп и хп
через операторы рождения и уничтожения бозонов ап и а*, определяющиеся
следующими соотношениями коммутации:
Ятйп [Щи ~ О, Щ/i] ^ О, 1я71, Я/м] -- 671, 777 . (^ О
В этих обозначениях мы можем написать
V2Ш (а"^а*)' Рп = т YhJ^r (""-""). (78)
где со - произвольный параметр размерности сек-1, например со = со0.
Далее делается преобразование к бегущим волнам
яд = -?= V, a^elhn, а* --\=г- У1 я*е-1"", к-- X Целое число.
ул- * п ул- _ Д
(79)
Здесь яд, я* - новый набор бозе-операторов, подчиняющихся соотношениям
коммутации (77). Из-за инвариантности относительно трансляций (т. е. за
счет того, что (1/7V)5j exp [г (к - к') п\ -¦
П
= 6Й, ft-), остающиеся после этих последовательных преобразований члены
гамильтониана имеют вид одного из следующих четырех операторов:
я*яй^пй, яйя* - 1-J- и*, flftfl-ft и яйя!1й. (80)
Следующее преобразование - каноническое, и им можно воспользоваться для
исключения двух последних (недиагональных) членов:
а-k -* ?ft ch /й -г я* й sh /А, at -" яЦ ch //(- я_й sh /A.
где
ih - - ft~ ¦ /-ft
[ср. гл. G, выражение (171), стр. 2231. Функция fh должна быть выбрана
так, чтобы диагонализовать после чего гамиль-
тониан принимает следующую форму:
Ффоп-У rmk (пА 4) ¦ (82)
МАГНИТОСТРИКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ
315
Из вычислений видно, что для малых к
сол яг s | к ],
(83)
где s - скорость звука.
Задача 8. Проделайте указанные в тексте преобразования и в явном виде
диагонализуите о&ф0Н. Получите соА и найдите выражение для скорости звука
s.
Гамильтониан (82) позволяет в отсутствие взаимодействия вычислять шпур
отдельно для каждого колебания (т. е. для каждого значения к), причем
каждое колебание дает вклад в виде множителя
Статистическая сумма равна T1Zа полная свободная энергия фононов равна
В заключение отметим, что каноническое преобразование, которое сдвинуло
координаты решетки, имеет физический смысл. Так, если атомы сдвигаются,
это немедленно обнаруживается в виде изменения длины цепочки. Подсчитаем
среднюю (ТА) длину
где Ui - внутренняя энергия изинговских спинов в отсутствие магнитного
поля и при постоянном межатомном расстоянии. Если мы обозначим удельную
магнитную теплоемкость при постоянном межатомном расстоянии и нулевом
магнитном поле через
то сможем сопоставить коэффициент теплового расширения a = dL/dT
(механическую характеристику цепочки) с с, - с магнит-
Zh = Sp (e_^,1Шft<rl^!_1''г,) -г У е_РЛш/г(пА+1/2)-
_ е4_ e-P<V/-2 _|_ e-P"<v/z
(84)
и свободная энергия принимает вид
(85)
(86)
h
J (а) Л \р А/ш;2,п -
(87)
1 tlL:! с' .V di-
ll -0, a--const.
