Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
2Kl)~iiv (sin <?sh 2K2 sh 2KJ -f-+ x: (cosq sh 2K2 ch 2KX - sh 2Kt ch
2^z)[. (48)
344 э. МОДЕЛЬ ИЗИНГА
Окончательно: матрица ранга 2x2 непосредственно диагонали-зуется, давая
последние два собственных значения. Или, действуя иначе, можно подставить
электронные операторы обратно в уравнение (48)
V, (q) V2 (q) = е2К* [ch 2Кt ch 2K2 - cos q sh 2Kl sh 2K2 + f (cqc-q -f-
Э. c) (sin q sh 2K2 ch 2Kt) +
+ (cqc-q - clLqCq) (sin q sn 2K2 sh 2Ki) -)-+ (n9 -f П- 9 - 1) (cos g sh
2ch 2К t - sh 2К j ch 2K2). (49)
Это представление справедливо только для состояний ф3 и г[?4. Затем,
диагонализуя всю матрицу при помощи преобразования Валатина -
Боголюбова*) (ср. стр. 223), получаем известное для фермионов выражение
Cg -> COS фдСд -f вШфдС*, (50)
и т. д.; снова представляя V (q) в виде экспоненты, находим
(51)
- диагональную матрицу в представлении новых операторов. Здесь Eg -
положительный корень трансцендентного уравнения
ch е3 = (ch 2Кг ch 2К1 - cos q sh 2KZ sh 2Kt) q Ф 0. (52)
Случай 9 = 0 был рассмотрен отдельно в задаче 1. Мы нашли, что
У (0) = е*1е2(кг-*1)п0. (53)
Объединяя все эти результаты, мы окончательно получаем для У
V = (2 sh 2К1)м/2е~^вя^пя~1/2), (54)
где индекс суммирования пробегает все значения q, положительные и
отрицательные. Требуется найти наибольшее собственное значение этого
оператора. Это простая задача, которая сводится к тому, чтобы положить
некоторые из nq равными единице, а другие - равными нулю.
При высокой температуре все eq положительны, поэтому если мы должны
получить наибольшее собственное значение, то все пд должны быть равны
нулю. Исходя из циклических граничных
*) В своем первоначальном виде уравнение (42) сходно с уравнением
Шредингера, с гамильтонианом Бардина, Купера и Шриффера в теории
сверхпроводимости. Наш исходный метод решения также напоминает
андерсонов-ское псевдоспиновое решение для гамильтониана Бардина - Купера
- Шриффера [7].
РЕШЕНИЕ В. НУЛЕВОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
345
условий (для определения этих условий см. задачу 2), одно из nq должно
быть положено равным единице, с тем чтобы число частиц N было нечетным.
Очевидно, что это условие менее удовлетворительно и приводит к меньшему
собственному значению, чем выбор антициклических граничных условий (N
четно), при которых волновой вектор q = 0 вообще не появляется и допустим
такой выбор: все nq = 0. Таким образом, при высокой температуре (К^ > Kz)
- единственно возможное собственное значение и фактически максимальное
собственное значение равно
Я
М J dqЕд/4л
Z = (2 sh 2Ki)M/2e -* ; (55)
как обычно, мы заменили сумму интегралом в пределе при М -*¦ оо. Однако
ситуация резко меняется, когда Ki = К2- В действительности это вопрос
определения точки Кюри. Когда Ki ^ К2 лучше выбрать п0 = 1, чем п0 = 0, и
выбирая циклические граничные условия с нечетным N, мы опять получим то
же самое значение z с точностью до членов порядка е~м. Таким образом,
"основное состояние" становится двукратно вырожденным. (Здесь нет
нарушения теоремы Фробениуса, так как эти состояния вырождены только в
предельном случае М -> оо.) Это вырождение выражает двукратное (спины
направлены вверх или вниз) вырождение модели Изинга для ферромагнетика
или (обусловленное возможной заменой подрешеток АВ) модели Изинга для
антиферромагнетика. Оно также тесно связано с существованием дальнего
порядка.
Хотя выражение для статистической суммы оказывается несимметричным по
силам связи Jlt 2 (или Kit z), его можно сделать таковым при помощи
тождества Онзагера:
2л
^ d?ln(2chz-2cos?) = 2nz. (56)
о
Таким образом,
Л
Г - -*r(/'ln(2sh 2Ki)+^ J еqdq) =
- П Я Л
= - *r[ln2 +JL J da J <fu'ln(ch2A:1ch2iS:a -
о о
- sh2X'1cosco - sh 2Кг cos со') J . (57)
346
9. МОДЕЛЬ ИЗИНГД
Критическая температура, определяемая равенством Кг = Ки дается
выражением
Для Jl = J2 - J, т. е. для изотропной квадратной решетки
2 J 2 J
кТс
arc sh (1) In (1 -J- Д/2)
2,27/.
(58)
(59)
Из структуры формулы (57) для свободной энергии очевидно, что существует
ветвь, обрывающаяся в точке Кюри, хотя очевидно также, что свободная
энергия непрерывна. Это один из постулатов термодинамики, который
проверяется здесь в явном виде.
Фиг. 9.2. Точная зависимость удельной теплоемкости с!к от kT/J для
изотропной прямоугольной решетки с взаимодействием ближайших соседей: 1 -
по модели Изинга; 2 - приближение Крамерса и Ванье; 3 - метод Бете
(аналогичный теории молекулярного поля) [8].
В предыдущей главе мы доказали, что внутренняя энер-
гия и = д (Pf)/dp. Оценим внутреннюю энергию изотропной квадратной
решетки; используя приведенное выражение для f, найдем
и = - / (cth 2К) [ 1 ~ (2 th2 2К - 1) Kt (ki) "| , (60)
где ki = 2 sh 2/?7ch2 2К и Ki (&±) задается в виде полного эллип-
СПОНТАННАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ
347
тического интеграла первого рода
л/2
Ki (^1) - [ (1 - /с(r)sin2 ф)~1/г ^ф. о
Когда в свою очередь дифференцируется внутренняя энергия для получения
удельной теплоемкости с = dutdT, то обнаруживается логарифмическая
