Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
причем всеми другими спинами на время пренебрегаем. Поскольку
Од, т = i 1| (On, m)a - (On, т)4 = . . . = 1
И
(On, m)3 - (*7ц, m)5 • ¦ • - On m,
то разложение функции от спинов в ряд Тэйлора содержит только два члена.
Например,
e3Ji°n.man+i.m = ch (РЛ) + оп,тстп+, msh(p/,) (Ш)
Аналогично всегда можно положить
р (Rn)-=A + onimB, (14)
22 д. Маттис
338
9. МОДЕЛЬ ИЗИНГА
где А и В не являются функциями от о", "" а зависят отстП1т'^т.
Перемножая оба сомножителя в виде разложения и собирая члены, не
зависящие от on>m, получаем линейное по оп,т выражение
epjl0n, т°п+и пг _)_ CTn> тВ) = ch (P/j) X
X {[4 + an+1, тВ th (Р/j)] -f on, m \B -f on+li mA th (р/±)]>. (15)
При составлении шпура последний член исключается, а предыдущий получает
множитель 2. Это дает нам tp (on+li m), и ясно, что в процессе этого
преобразования р (aUj = ап, гпВ заменяется на
Р (On+i, mth P^i) = A -p- (an+1, mtb P-^i) B\ (16a)
в результате вычисления шпура появляется новый множитель 2ch(P/!).
Обобщая этот результат, определим р с помощью его разложения в
произведение по а:
Sp" {epJl<Tn. rn.an.+i, тр (CTn> an> 2; a", 3; .. .; ст", м)} =
~ (2 ch P"/i)'^ Р (tOn+l, 1) 2j ^n + i, 3j ¦ ¦ ¦ j ^n-i-1, m)i (166)
где ? = th pJt. Все предыдущее справедливо и при замене ап, т повсюду на
On, т', в этом случае такую же замену нужно сделать в исходных формулах.
В следующем разделе предполагается, что это выполнено.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Чтобы продвинуться вперед, мы должны выбрать определенное представление и
соответственно обозначить состояния, описываемые приведенной матрицей
плотности. Так получается искомое уравнение для собственного значения,
однако предстоит еще его решить.
Напомним, что р {В) - это 2м-мерный вектор-столбец, в котором Pi - вес
первой конфигурации, Р2 - вес второй и т. д. Выберем эти конфигурации:
Ti = I 0) - вакуум, т. е. все спины направлены вниз (a^cpi = -q>i), ф2 =
Oj [ 0) - а* | 0) - все спины, кроме первого, направлены вниз,
ср2м = "Стз ¦ ¦ ¦ orjtr | 0) = afafa* ... а*м \ 0); (17)
для последней конфигурации "все спины перевернуты". (Для удобства индекс
строки п опущен. Это не внесет путаницы, так как мы остаемся в пределах
одной строки. "Первый спин" означает, что т = 1 и т. д.) Мы указывали,
что о" не От можно
УРАВНЕНИЕ
339
использовать с таким же успехом, как и оператор рождения спина Стт, так
как по определению вакуума
От|0) = 0 для всех т\ (18)
в этих терминах приведенная матрица плотности равна
2м
р(Д)=2*гФг. (19)
г= 1
Странный оператор р (to?, to%, . . .), определенный (16а), удобно
выразить иначе. Читателю в качестве упражнения предоставляется доказать,
что
м
{lilt) 2 ^ТП^ТП
p(f<rf; . . .) | 0) = в m=1 p(of; ...)|0). (20)
Далее мы продолжим рассмотрение спинов Изинга, направленных по оси х,
чтобы воспользоваться вышеприведенным удобным тождеством. Конечно,
м
2 = N. (21)
1
Здесь мы узнаем оператор полного числа частиц, с точностью до аддитивной
постоянной он равен Sполн в новой спиновой системе координат.
УРАВНЕНИЕ
Нам теперь остается упростить несколько запутанную систему обозначений.
Для связи с обширной литературой по этому вопросу мы прежде всего введем
следующие сокращенные обо значения:
РJi = Ku р/2 = Я2, Рh = H, 2КХ= -In (th JSTj), (22)
и приведем одно из многих алгебраических тождеств, использованных
Онзагером:
- - In (thi^). (23)
Воспользуемся им, чтобы выразить оператор V, выведенный методами,
описанными в предыдущем разделе, в виде произведения трех сомножителей:
V = V1V2y3. (24)
22*
340
9. МОДЕЛЬ ИЗИНГА
Первый из сомножителей включает оператор числа частиц
V4 = (2 ch Ki)M e-2'~iN = (2 sh 2 Х^/ге-зкцм-п/з). (25)
Множитель в экспоненте теперь в точности равен ?полн = №- М/2.
Следующий оператор V2 включает связи внутри строки R, которые мы еще не
исследовали:
V2 = eX22tT"ltT"+i. (26)
Наконец, магнитное поле входит в третий множитель
У3 = енЕ<Ч (27)
Таким образом, уравнение для собственного значения имеет вид
V = V1V2V3. (28)
Так как оператор V! не коммутирует ни с одним из двух других сомножителей
(заметьте, как классическая задача умышленно выражена в терминах
некоммутирующих подлинно квантовомеханических операторов!), то оператор V
неэрмитов.
Иногда бывает полезно оператор V симметризовать или привести к эрмитовой
форме. Два очевидных способа симметризации таковы:
V -> (VsVs^V^VjVj)1/. И V -> V1/*(V2V3)V;/*. (29)
Они привели разных исследователей к выражению полученных результатов в
различных формах. Вся глубина этой задачи, вероятно, еще не исчерпана, и
автор не знает, существуют ли в опубликованном виде версии, которые
основывались бы на других симметричных формах, таких, например, как
zV71p = V2V3p. (30)
Выражение (30) - это еще один вид псевдо-шредингеровского уравнения,
известного в теории Гайтлера - Лондона, учитывающей матрицу перекрытия.
При решении задачи в отсутствие внешнего поля (в следующем разделе) мы
выясним, в чем трудность введения отличного от нуля магнитного поля (Н Ф
