Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
вычислении Г, то должны сначала записать уравнение движения
и решить его в приближении хаотических фаз, оставляя только такие члены,
которые можно идентифицировать либо с S+ (Йшч), либо с St, (. Уравнение
позволяет найти амплитуды Fk, t и собственные значения Ticoq, однако
матричные элементы теперь не константы, а интегралы.
Ранее операторы ck;fCkf| коммутировали с $?0о- Соответствующий член в
S+(hcoq) имеет вид с*+ч, к(|Ск(;, он создает элементарные возбуждения вне
ферми-фона, однако, строго говоря, не представляет собой оператора
рождения для в%?0о из-за куло-новского взаимодействия, но некоторые
поправки можно принять в расчет при определении энергии элементарных
возбуждений Et (k + q) - Et (к) (по примеру того, как мы использовали
точную плотность состояний при q -> 0). Другие поправки (операторные)
можно опустить. Таким образом,
Комбинируя два приведенных выше уравнения, получают точно такое же
уравнение, как (94), однако с новым определением матричных элементов
[с$?эфф> S+ (Йюд)] = ha>qS+ (Псо,)
(97)
[Шэфф, S+ (йш,)] ^ (?( (k -р q) - Et (к)) Ь ki
(Ck_|_qi t tckf j +
f, к Гф1 к'
(98)
7^У'11Д V пк( J. llk+q, t t
A(-Auq-?t(k)-|-^(k + q) '
(99)
МАГНОНЫ ПРИ q=jtO
283
в котором ttk(m при вычислении можно заменить средними равновесными
значениями
<nk, u> - f [Et (k)J и (nk, ,t> = / [Et (k) + Д,]. (99a)
Так как ферми-распределение при Т - 0° К имеет вид ступеньки, то, если Д*
превышает р., все nkt^ = 0. Это имеет место для
Фиг. 7.13. Акустический (А) и оптический (О) магноны в зонной теории для
kF= 1, а-1 > 1 и для различных значений Д.
Подробнее см. выражение (100) и далее. Указанная область непрерывного
спектра (заштрихована) соответствует элементарным возбуждениям с
переворотом спина; область непрерывных возбуждений без переворота спина
остается такой, как показано на фиг. 7.6.
значений /ху',д, превышающих пороговое значение в приближении очень
сильной связи (указанное на фиг. 7.12); вполне возможно, что тот или иной
порог превышается в одной зоне, но не в другой, хотя это довольно трудно
показать на рисунке.
Исходя из свойств приведенных выше дискретных сумм, решения типа
рассеяния должны перемешаться с континуумом невоз-
284
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
мущенных состоянии
At-Et(k) + Et (k + q)
во всем объеме импульсного пространства, где к удовлетворяет уравнению
Решения, соответствующие связанным состояниям, могут существовать выше
наивысшей энергии в континууме или ниже наиниз-шей энергии в нем. Из
соображений непрерывности ясно, что для малых q имеются г решений типа
связанных состояний, соответствующих г различным ветвям магнонов, которые
имеют при q = 0 энергии, равные собственным значениям у - решениям
уравнений (94) и (94а). С возрастанием q по величине (в зависимости от
ориентации q относительно векторов обратной решетки, по аналогии с их
влиянием на зонную структуру электронов), в конце концов, решения типа
связанного состояния сливаются с континуумом и исчезают.
Следовательно, при произвольном значении q из зоны Бриллюэна магноны не
существуют; исключение составляет случай предельно сильной связи и для
достаточно большого значения kF. В этом можно убедиться непосредственно с
помощью легко решаемого примера и фиг. 7.13.
Две вырожденные зоны в приближении эффективных масс Е (к) = к2. Единица
энергии берется равной ц = kF = 1. Детер-минантное уравнение (94) с
матричными элементами (99) легко решается после того, как суммы обычным
образом записываются в виде интегралов. При Д>1 получаем следующее
трансцендентное уравнение:
Для Д < 1 имеем nki f ф. О и мы получим несколько более сложное уравнение
/ [Et (k)] = 1 = {1 -/ [Et (к + q) + Д(]}.
Пример.
(100)
где
(101а)
и
(1016)
± I [1 ~(VД)-~= W[L {Q) ~^~А) L ((?>)]' (102)
МАГНОНЫ ПРИ <| ^
285
где
= (103)
а уравнения (101) по-нрежнему определяют параметр Q и функцию L ((?).
Оптическое магнонное колебание (-) начинается с 2Л для q = 0 и его
частота несколько возрастает до слияния с областью непрерывного спектра.
Акустическая (+) ветвь1) начинается с Ггш0 = 0 и возрастает
приблизительно ~Dq2 + О (q*). Область применимости квадратичного
приближения сравнительно монотонно растет вместе с А. Разложение по
степеням q позволяет получить формулу для D\
1 + (1 - Д)3/= - 4- [1 - (1 - Д)5/г]/д D=----------------------------
при Д<1 (104а)
н
D - 1 -пРи А> 1. (1046)
Акустическая ветвь вступает в область непрерывного спектра и "погибает"
при grmax = 0,75Л для А>1. В квадратичном приближении, которое мы хотим
проверить, энергия (при q = дтах) имеет вид
*¦№. "(*-?) (ЭД--И*-".'').
тогда как точная энергия при этом значении q может буть получена, если
положить Q = 1 в уравнении (101). Результат точных вычислений
"""itT-1) <105>
удивительно близок. Для А < 1 нельзя получить <?тах в виде такого
простого выражения; численные вычисления также указывают, что члены
порядка (<74) становятся относительно более существенными по мере того,
