Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
коммутируете так же, как с любой произвольной функцией от операторов
чисел заполнения nt,j= П( jf -f tit jj.
Таким образом, если 1(3 - произвольная собственная функция Шо + <3$с с
энергией Е, то З^ф (если функция S/ф не равна нулю)- другая собственная
функция, принадлежащая тому же самому Е, но ортогональная к ф. Однако St
- это оператор рождения для St, поэтому мы определяем энергетическую щель
Стонера как добавочную вариационную энергию, связанную с возбуждением
состояния 57ф0, где ф0 - ферромагнитное основное состояние <Маа с
энергией Е0. Непосредственным вычислением получаем
Таким образом, средняя энергия, необходимая для переворота спина
электрона в i-й зоне, зависит от намагниченности других зон (С ф t) и от
связи с ними по правилу Хунда, хотя последняя и не зависит от зонной
структуры, уровня Ферми, интегралов Кулона и т. д. Щель Стонера
изменяется между нулем [при пороговом значении, указанном равенством в
условии (81)1 и произвольно большим положительным значением. Сначала
медленно возрастая, а затем линейно изменяясь с возрастанием /ху"д, она
подчиняется предельному закону
если величина /х>нд достаточно велика, чтобы все "Л1''.- электронов в f'-
й зоне имели параллельные спины. Появление линейной зависимости *)
[уравнение (87)1 и максимально возможного магнитного насыщения обозначает
существование порога в режиме очень сильной связи; схематически это
изображено на фиг. 7.12. Мы применяем такие единицы, что = 1.
Основное состояние эффективного гамильтониана ф0 и возбужденные состояния
5/ф0, t = 1, . . ., г являются набором г -|- 1
л - (Фо I St (<S5?oo - Ео) Sfl Фо) =-------------------------------------
- гг .-----------
(ф0 IJwS? |ф0)
2
2 (Фо I sb I Фо) , (86)
где
(87)
1) Экспериментальное доказательство того, что Fe находится в линейном
интервале, см. в работе [51 j.
280
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
ортогональных состояний; мы можем спросить, каковы наилучшие вариационные
состояния, которые можно было бы вывести с их помощью. Одно такое
состояние мы выводим на основании требования общей инвариантности; н =
- это оператор, комму-
тирующий с полным гамильтонианом и, следовательно, Зполнфо -
Фпг. 7.12. Зависимость намагничивания М и параметра щели Стонера от
величины х = УХундЛ^ (р,).
собственное состояние с энергией, равной энергии основного состояния, но
ему ортогональное. Это и другие собственные состояния можно найти, если
решить матричное уравнение для г величин Ft, где
ф = Гф0 = (2 FtSt) фо (8В)
- одно из возбужденных (ненормированных) собственных состояний с энергией
у, большей энергии основного состояния. Следовательно, Г удовлетворяет
уравнению
[с$?вфф, Г] = уГ, (89)
которое описывает "уравнение движения" оператора Г, хотя оно есть не что
иное, как уравнение Шредингера, написанное в удобных обозначениях с
помощью коммутатора; ой?афф - это гамильтониан, заданный уравнениями (83)
и (43), но поскольку Г коммутирует с с$?00 (см. задачу 5), то можно
рассмотреть только обменные члены, которые мы запишем явно.
МАГНОНЫ В ЗОННОЙ ТЕОРИИ 281
Упростить это уравнение позволяют два основных коммутатора:
[^kif f | ^кз/' | Ск4/' f " 2 | ^к'" 11 ~
к
~ б(', ГскЦ 1 Ск,< ; (Ck3r;Ck4f/j -Cks('tckii't) (90)
И
[скЦ fcl?2i t сЕз"' i 2 ckl" t ck/" I ] =
к
= Ckjtt (6j, <"Ck3r ;Ck2(| -6('_ i"Ck3i'tck2(t) CW i ¦ (91)
Наконец,
2 Sz
[Жэфф, Г] = 2 2 (Ft-Ft.) ~ J*VRSb +.... (92)
t Гф1
Точки указывают поправки, включающие более чем одно элементарное
возбуждение
2 Ck+q, / | Ckt | ^k'i'm^k' -qf'm" (93)
которые не могут быть выражены с помощью исходных операторов и которыми
можно пренебречь в "приближении хаотических фаз". (Впоследствии мы
вернемся к этому вопросу.) Остающиеся члены определяют уравнение для
компонент собственного вектора Ft и собственного значения у.
Макроскопический оператор
St = "2" 2 (Пь* t-Kki ^
к
может быть заменен его средним значением, которое представляет собой
отрицательную величину -&Mt, где Mt = намагниченности t-vi зоны.
Используя определение Дг, мы легко получаем из (92) и (89) следующее
условие:
(94) где
К =2_В**_ и ? =0. (94а)
' At -Y t,t
Величины Ft связаны с собственными векторами Gt, которые
представляют собой решения уравнения
2 Kt tPt' = Gt, соотношением Ft =¦¦ ¦ (95)
Детерминантное уравнение (94) всегда имеет решение у = 0,
как это следует из определения щели (86). Другие решения не столь
наглядны. В решаемом до конца примере двух зон,
Det
Н, г -
К,
= 0,
282
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
обсужденном в связи с (82), находим
Y = 0, Aj + A2,
(96)
причем Fi = F2 для меньшего значения (как и ожидалось), a FJFo = - 1 -
для большего значения. Как мы скоро увидим, они представляют собой предел
при q = 0 "акустической" и "оптической" ветвей спектра магнонов
соответственно.
МАГНОНЫ ПРИ q == о
Мы вычислим спектр магнонов для q 0 в том же самом приближении, что и для
q = 0. Общая форма оператора S + (Йшч) была уже выписана в уравнении
(84), и если мы хотим применить ту же технику, использованную при
