Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
ансамбля. Пусть энергия каждого спина, параллельного полю, равна -h, а
энергия каждого спина, антипараллельного полю, равна +А, тогда
здесь g = 2 для спина и 1 для орбитального момента; цв-магнетон Бора =
eti/2тс = 0,927-Ю-20 эрг1гс; это соответствует расщеплению на 2h = 1 с-и-
1, когда g = 2 и Я = 11 ООО гс. Если "в среднем" п спинов параллельны
полю Я, а N - п антипараллельны ему, то "средняя" энергия каждого спина и
и полная энергия U равны
Гильберт [1].
(1)
(2)
где р = n/N.
294
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Кавычки в предыдущей фразе означают, что понятие среднего еще нужно
определить. В самом деле, вначале мы будем интересоваться скорее наиболее
вероятным значением п, чем строго средним. Статистическая механика в
действительности требует введения точных аксиоматических основ, но для
первого знакомства эвристический подход является наилучшим.
Вероятность того, что будет достигнуто распределение, определенное
равенством (2), есть
<3>
где Р (U) - термодинамический множитель Максвелла - Больцмана, подлежащий
определению; второй множитель - биномиальный коэффициент (дающий число
различных сочетаний, соответствующих правильному значению п),
отнормированный последним множителем, обратным полному числу сочетаний.
Следовательно, Q равно произведению двух независимых вероятностей Р (U) -
термодинамической априорной вероятности для системы иметь энергию U и
статистической вероятности, соответствующей данному значению U или п,
которая представлена оставшимися множителями. Далее, используя
приближенную формулу Стирлинга
InTV! ~N\nN-N, (4)
легко заметить, что полная статистическая вероятность Q экспоненциально
зависит от N. Поэтому In Q есть экстенсивная переменная, т. е. такая,
величина которой определяется размерами системы, и, следовательно, In Q -
подходящий объект для исследования
In Q = Ini3 (U) - TV [In 2-\-p Inp-f- (1 - p) In (1 - /?)], (5)
где p = nIN. Далее, для определения P (U) имеются следующие разумные
критерии:
1) In Р (U) должен быть экстенсивной величиной;
2) он должен быть безразмерным;
3) он должен максимизировать полную вероятность Q.
Условию 1 удовлетворяет In Р ~ + U', для выполнения условия 2 достаточно
умножить ±U на интенсивную величину (т. е. не зависящую от N) размерности
(энергия)-1. Условию 3 можно удовлетворить, учитывая, что в природе
всегда осуществляются состояния с наименьшими энергиями, что исключает
состояния с энергией -\-U в пользу состояний с энергией -V. Таким
образом,
Р(и)=е~*и,
(6)
СПИНЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
295
где р - интенсивная величина, которую можно выбрать в виде
f-W Р)
(к - постоянная Больцмана, равная 1,38-Ю-16 эргГ К; Т - температура в °
К). Этот вывод предполагает, что две системы в состоянии
термодинамического равновесия имеют одинаковое значение температуры Т
(см. задачу 1). Однако проблема определения температурной шкалы и другие
интересные тонкости термодинамики выходят за рамки этого раздела; их
можно найти в ряде книг по данной тематике.
Задача 1. Разделите систему из N спинов на подсистемы из щ, п2, ¦ ¦ ¦
спинов так, чтобы 2 nt= N. Пусть соответствующие температуры этих
подсистем равны Т1, Т2, . . ., а полная энергия равна v. Покажите, что Q
максимально, когда Тi= Т2= . . ., т. е. докажите, что термодинамическое
равновесие достигается при однородной температуре. Затем выведите
уравнение (14) (см. гл. 7, стр. 241) для фермионов.
По аналогии с определением Р (U) удобно определить свободную энергию F и
свободную энергию /, приходящуюся на один спин:
Q = е-№ = e~Wf. (8)
Исключая Q, найдем
/--= (1 - 2р)/г-ЬА-7,[1п2-^р1пр + (1 - р)1п(1 - /?)]. (9)
Нам известно, что энергия / должна быть минимальной, поэтому мы ищем
решение, удовлетворяющее условию
откуда непосредственно следует
p = l+e-m ¦
Подстановка этого выражения в (2) дает правильное значение внутренней
энергии, а подстановка в (9) - правильное значение свободной энергии в
состоянии термодинамического равновесия, которое будет выведено другим
методом.
Эти же результаты можно получить несколько проще и в более общем виде,
разделив произвольную систему на большое число подсистем, каждая из
которых с вероятностью pi имеет энергию ег. Предположим, что полная
свободная энергия является суммой таких членов:
Fг = etPi kTpi In pi = (егрг) - T^kpt . (12)
296 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Величины в скобках (егр,) представляют собой внутреннюю энергию i-ж
подсистемы, а In (1/р,)] =S (pt) - ее энтропию. Минимизируя F по
переменной Pi, находим
-ре;
Pi = 1-Z-> (13)
где Z выбрано так, что JjPi = 1- Нормировочный множитель Z называется
статистической суммой (Zustandsumme)
(14)
Второе равенство позвляет работать в представлении, в котором
гамильтониан $? недиагонален, а это часто бывает удобно. Величина, шпур
которой мы вычисляем
(15)
известна как матрица плотности; это квантовомеханический оператор,
обобщающий понятие классического множителя Больцмана.
Физический смысл статистической суммы и величины Q одинаков; обычно
