Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
доказательству достаточности условия (4.63). В случае диаграммы 4.9,6
решение U-Cx,-!) можно представить в виде:
uCx,V)'U<(x,-t')=: p/x+vTTTH) +c|4(X''/I:a-t') ,
Щ)-
да
4ii2L 1
8-2
- 60 -иъ(хД)=
цСх/О- U^Cx/tb ^Cx+\/(T5-t) + ^Cx-#^-t) , * a't
¦* У
МУЬ ЩР* ) 'ЬФ* 4^~ Жа
Для доказательства достаточности условия (4.63) остается прове-1 рить,
что в соответствующих областях выполняются неравенства
х >/о , Т>иъ j гд~х, to .Эти неравенства в си^ лу леммы 2.1 эквивалентны
следующим:
'?Ujl Ъ X
Т>Х
Так как ^ (cU^Hv/T^^^Uabv/T^-iKo ,то pif о) + ^/'о)=0. Кроме того, ^f^4)
' ПоэтомУ имеем равенство
пли
Т>х
' - (|1" (-Х'ПГН) - (о) .
I -
Первое неравенство в (Д.65) будет выполнено, если -убы-
вающая функция. Это последнее условие при ? , близких к
нулю,обеспечивается условием
мЦ(о)s!7^q. -v/fo) 4о.
Последнее неравенство является следствием (4.61),(4.63). Аналогии ным
образом доказывается второе неравенство в (4.65).
Замечание 4.6. Решение задачи (I.I) ,(4.7),(3.7) при условиях теоремы 4.8
не может иметь диаграмму рис. 4.9,г' (сы. лемму 4.2 случай б) и не может
иметь диаграмму рис. 4.9,в (см.теорему, 4.4). Если (о) > О ив теореме 4.8
выполнено условие (4.63) то решение не может иметь диаграмму 4.9, а (см.
теорему 4.5). Если - двавды непрерывно дифференцируемая
функция
в окрестности х = о , \/"(х.) - непрерывно дифференцируемая
функция в той ке окрестности и выполнено условие (4.63), то
- 61 -
решение также не может иметь диаграмм рис.4.9,а(см.теорему
^7 ). Можно привести еще ряд примеров, когда решение, указанное в теореме
4.8 является едийственным в классе всех возможных
диагрэмм.
Замечание 4.7. В условиях теорем 4.5, 4.7 при выполнении соотношений
(4.41),(4.53),соответственно, и при наличии неравенства
(4.61) имеет место единственность решения в классе всех возможных
диаграмм.
Замечание 4.8. Из теоремы 4.8 следует, что слабый сигнотон моют иметь
место и в случае негладких начальных условий.
Проведенное исследование существования и единственности обобщенного
решения задачи Коши (IЛ),(4.7),(3.7) в случае,когда начальная функция
M0(ic') имеет локальный максимум прих = <?, существенно опиралось на
предположение а выполнении условия
(4.13). Без этого условия пришлось бы рассматривать еще диаграммы,
изображенные на рис. 4.II. Диаграммы рис. 4Л1,а -г являются еще более
сложными по сравнению с диаграммами рис. 4.9.
Остановимся на возможных видах поведения решения задачи Коши
(IЛ),(4.7),(3.7), когда UoCx-) в нуле не имеет локального максимума.
Пусть имеет локальный минимум при
х-о . Этот случай сводится к предыдущему при помощи замены переменных
х~>-х' , а - и . Нетрудно видеть, что если и/т,-*:) удовлетворяет
уравнению (I.I), неравенству (3.7) и u(r,o) имеет в нуле локальный
минимум, то удовлетворяет уравнению (I.I), неравенству (3.7) и имеет в
О
локальный максимум.
Пусть теперь и в некоторой окрестности х = о
выполняются неравенства Uo(x.3>o при х^о , Uo(x)>0 при х>о .в точке х~о
возможен излом графика функции Ко(х).
Обозначим через u. решение задачи Коши
(*,<>)'(4>бб)
1 областях,являющихся пересечением некоторой окрестности точки т=о,4 = о
с областями х < -\/<-д t;-t > сх х > 4.,-t > о .
Рис. 4.12
- 63 -
Относительно начальных функций и0(х^\/0(х) предположим, ql0u;>° в
указанных двух областях. Эго условие можно выразить непосредственно через
начальные функции. Именно, обозна-чИВ как и раньше и<(х) = ц"(.-х) ,
v4(x)~v0(x) при х <
Uitx)=u0Cx) , v-lCx) - Vo (х) при х > о , находим,что условие и'х>о при
i^-vTFa-V эквивалентно условию (4.10), а условие а'х > о при х > vA7a. -t
эквивалентно неравенству
'К1* (ъЦ.'Ъ) + + V^C^VVjlC^) >о С^-6?)
при 5" , где 5"-некоторое положительное число.
На рис. 4.12 даны.возможные виды диаграмм решения при выполнении условий
(4.10),'(4.67).Отметим, что диаграмма рис. 4.1^а является частным случаем
диаграммы рис. 4.12,в, когда фронты сильных сигнотонов совпадают с
прямыми x^i'/Pa-fc ,
Докажем две.теоремы о существовании и единственности решения задачи
(I.I),(4.7),(3.7) с диаграммой вида рис. 4.12. В формулировках этих
теорем несколько завышены требования относительно начальных функций, что
позволяет получить более простые доказа -тельства.
Теорема 4.9. Пусть в некоторой окрестности, точки х"о ¦Ц0'(х)>о при х < о
, 'wj(x') >о при х>о , выполнены условия (4.10), (4.67) и, кроме того,
и[(о)>о ,
vfiPa ) >о, I <0' С4*68)
" ь^) +Vjl(-5)>o, ^>о- (4.69)
Тогда в некоторой окрестности точки х-о ,-t=° существует единственное
решение задачи (1.1),(4.7),(3.7) и оно имеет диаграмму рис. 4.12,а .
Доказательство. Докажем сначала существование решения. Обозначим через
функцию u.(x,4r) , введенную
в (4.66), в областях х< -\A-a-t , х соответствен-
но. Искомое решение определяется формулами
- 64 -
u(x)A,>uit^A)^JL(xWFa4;)+ ^(х-'Л^йА) ; x>WT^-t, U.(x,-t)= px(x + \f^-b)-t
^((x-'/Txii') ; - VraAixx v/Fai;
Для доказательства существования решения с диаграммой рисЛЛ^а остается
проверить, что при -\fFA-t х xtvTTxi-t. Так как
