Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маслов В.П. -> "Теория упругости для разномодульной среды" -> 13

Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.

Маслов В.П., Маслов П.П. Теория упругости для разномодульной среды — МИЭМ, 1985. — 100 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugostidlyaraznomodulnoysredi1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 25 >> Следующая

'bi ('0,°')= VR VO- (4.36)|
Неравенство (4.36) противоречит неравенству (4.26). Теорема 4.1 доказана.
Лемма 4.3. Для диаграммы 'рис. 4.9,в. необходимо выполнение нера-;
венства (4.36), для диаграммы 4.9,6 необходимо выполнение равенства
(4.31),для диаграммы 4.%а необходимо выполнение неравенства
VTTq W(o)+\/hi M,/(o) + Vi(o)-V<(o)<o- (4.37)
Доказательство. Первые два утверждения леммы 4.3 непосредственно следуют
из доказательства теоремы 4.1. Докажем последнее утверждение. Пусть имеет
место диаграмма рис. 4.9,а . Вели U(M>C то из условия -\Д4а <= <t4o)"
следует неравенство (4.37)
если же u^fo^-o , то возможны два случая:
1) VTvft 144>4°) + Vjl(o)-V<(o)*0,
2) v/I+Q -и/, (о) -v \/д.(о) - (о) ^ о.
- 49 -
5 первом случае выполняется неравенство (4.37). Во второй случае находим,
что d'(o) . - Vv+ci .Тогда из условия ^ (о) + ^(о)^0 ^сМ< (4.27) )опять-
таки вытекает неравенство (4.37).
теорема 4.2. Пусть выполнены условия (4.10),(4.П),(4.13);4.''о ' прИ х^о
, г^(хГ) < о при х > о и
I \/ТнГ5 (о) + u|(o)+VA(o)--Vi(o')> о. (4.38)
Тогда в окрестности точки т-о , i = o существует и единственно обобщенное
решение задачи (I.I), (4.7) в классе функций, удовлетворяющих условию
(3.7).Это решение в окрестности точки *шО, ^сО имеет диаграмму рис.
4.9,в.
Доказательство. Существование решения с диаграммой 4.9,в следует из
формул (4.32)-(4.3$. Остается только проверить, что ^J^x. ^ о , - О
.Из формулы (4.35) следует, что
неравенство 'b4bf'Эя so будет выполнено, если . Это
последнее неравенство совпадает с (4.13). Неравенство 'д'Ца./дх.ъО будет
иметь место при достаточно малых ~Ь , если 7>иА(^о)Дк>о_
Это строгое неравенство следует из формулы (4.34) и неравенства
(4.38). Единственность решения следует из леммы 4.3. Следующая теорема
уточняет теорему 4.2.
Теорема 4.3. Пусть выполнены условия (4.10),(4.II)э uj(x) > о при Xio,
l^fx) со при х>о, в некоторой окрестности точки x = o;-t=o существует и
единственно решение задачи (I.I), v4.7), удовлетворяющее (3.7) и имеющее
в окрестности точки х=оу = о диаграмму рис.4.9,в,тогда и только тогда,
когда выполняются условие (4.13) и
\ДТ" -vtcЦ)>,о ^-39)
при -Si . При этом соотношение (3.7) является равенством.
Доказательство. В случае диаграммы рис. 4.9,в решение определяется
формулами (4.32)-(4.35). Отсюда следует его единственность. Для
доказательства существования решения необходимо и достаточно установить,
что ос, о . НеравенствоЪЧъ/ы: " о
эквивалентно неравенству (4.13). Это следует из формулы (4.35).
7-1
- 51 -
кязател;СТВ0, Заме1им" 410 из условия иф(о)> о следует , которое
позволяет dL'(-t) принимать произ-нбраВв1 значейия между -\/Т+а и -хДД'а
( ->c=oU-fc') -фронт
7тона). Если решение задачи имеет диаграмму рис. го для ^ = выполняется
функциональное уравнение
В силу условий и[(о)> о и (4.31) имеем F^(o,0>0.
- 50 -
Неравенство 'й^хл.Ы~с >? о в силу (4.34) эквивалентно нерав(r) ству
(4.39).Теорема доказана.
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия (4.10),(4.II) и Wi при хх о и UJ (х)
< о при х > о .Не существует двух разл| решений задачи Коши (I.I), (4.7)
с диаграммами рис. 4.9,6,
4.9,в, , удовлетворяющих одним и тем же начальнъэ.1 условиям.
Доказательство. Пусть )\ГГ4а +vA' (^) = о npi
о t ^ S' .Не ограничивая общности, можно считать, что
- О . Из уравнения (2.16) для фронта с. бого сигнотона следует, что
единственное решение задачи (I.I (4.7) с диаграммой4.9,б таково: и(ху1:)
= сА При x/Fa'tt Таким образом, в этом случае диаграммы рис. 4.9,6 и
рис.4.9, совпадают. Пусть теперь од - невоз
тающая и непостоянная функция при о ± S' . Если су ствует решение задачи
(1.1),(4.7) с диаграммой рис. 4.9,6 , т< для фронта слабого сигнотона
имеет место соотношение (2.16)
\fU4 Uj(4(-()+\Я+с[4;) vV^^vVjTrq^vVfbaU^i^bv/Fq-t^-Vi^i^-VPa^-Oi Полагая
в левой части (4.39) <Mt)-VFhx i ; ^ =ш4)+\/Т+а t + _ _
-VjuЮ, JU 14)>о, получим, что в силу убывания функции \A+aKa[(t^
определено в (4.27)). Из леммы 2.1 следует, что это неравенство и
уравнения (2.16) неравенство (4.39) невозможно. Теорема доВД зана.
Теорема 4.5. Пусть выполнены условия (4.II),(4.I3j,ui(x)>o! при х ? о ,
Ud(x) ^ О при X •? о , Uj (о) > О и (4.31)
вольные
сильного сигнс
4.9, 3 "
(И 28),(4-29)
на вытекает единственность решения задачи (IЛ),(4.7),(3.7) иаграммой рис*
4.9,а . Из тех же условий и функционального
Сравнения находим', что ei4o)=-VT^a . Так как *К)?
<. -хДРД-I / сИ°) = ° > 50 Дня существования решения необ-
чтобы Отметим, что, если aL"(o)±o , то
дд-Н решение уравнения (4.28),(4.29) такое, что
|Х0ДИМ о
существует
при малых
•t 70, - \FTTq <. cL' (-tV- Далее, из уравнения
(4.28),(4.29) находим;
(\/17д-\/Т2д)((\/ЩлАД'(о))-ДЛ/(-4 (it"(o)\ff-q -Ч!(&) { v/ТГц + ч/Т^а ) Ч
{ (o')
Г(о)=-
Для завершения доказательства теоремы остается установить неравенство
^''ид./'Эх ? о при dlF) х с \1Н(( -t
будет иметь место тогда и только тогда, когда
- P^(^-^H)+Q'(-C'/rfav\rR)0?o"
Тогда может существовать не более одного решения задачи (I.I),
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 25 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed