Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что указанные функции с) 4
, удовлетворяют системе функциональных
уравнений (4.17). При этом решение уравнения (I.I), определяемое
формулами (4.14),(4.16),имеет диаграмму, изображенную на рис. 4.10.
Условие А+В < о эквивалентно неравенству
)f's + 4'/"ra ? * + аи-^аЛ^ - gaxTTa * о.
Очевидно, это неравенство выполняется,например, для достаточно малых
положительных Т . В этом примере остается проверить тол: КО, ЧТО ^U/dx
>/• о при
1 ' ~ 1 4 * такова
- 45 -
>,о" при X ^ oUl)r-(_\ГГа + jp-t . Замети что функция u4( r,-t) = А (х-
\/ТГ(х4;)я + 6 ( х +\Я-а^ ) А что ^U>Sx I =¦ 4 AN/Tq-l < О .Однако
Ъ^Н-х.) > О.*
Последнее неравенство имеет место в силу того, что о <
и - AU'/R + Г) /
(AaX/Tq - Ajfti-a')\Ji-a ) .
'-ьгц
D X
a(\/Pa-^)
Построим решение задачи (I.I),(4.7),(3.7), имеющее диаграмму рис. 4,9,г.
Такое решение определяется начальными условиями
и,ф= (а^\щу-яКЫг-ь) J №$'--*-?) ^)--ъ,
где числа АуВ были указаны выше, С и D - произвольные положительные
числа. Решение задачи строится путем склейки решений линейных уравнений в
пяти зонах U = и? ( х,А) при
U z при а.i-tH х t-VPa -t ,
u. = Ub(.x,-t) при -\M-qi i x ? VFq-t, u = при \/Х5Л t x ? \/T+a-t,
U = uT(x,4) при VT+q-t ^ x .
Функции , иЛ(х -t-) только что были найдены
U5 (x/U = p5lx+\fiTa-t) + (Jj. (х-'/ГГц.4: ф }
\dVr-
^1. А ^''Д+о
--УЙ_
"blu
Нетрудно видеть,что ^х при x>\Tf+a,i,
иДхЛ)^ D (@1^5 (vTfq-t-
\ДТц+YT-a \ V
il ( у* ч . ^Ub
Из того, что ^ [Ц)^о при \ >г о следует неравенство^ *0. •иъ О,^) " ps(x
-н'АнН) -v с|ъ (x-v/TTq-t^
AYFa-t) = ^ (y/R-1/fc ) , ^(-A'/TW -
Из формул для функций UA) Ц/, следует, что 0Ц(о)=О, f, (о) >0. Поэтому
при достаточно малых -t выполняется неравенство'^? > о. Теорема 4.1.
Пусть выполнены условия (4Л1),(4.13),и^(ху>о
при X <1 О , ( Л} < о при X > О И 1Д/ ( о) > о у
V/TXq l^(o) +\/Pq U,/(0') + VA(o)- VH (о) < О. (4.26)
Тогда в окрестности точки x = o;-t = o существует единственное обобщенное
решение задачи (1.1),(4.7) в классе функций,
удовлетворяющих условию (3.7). Зто решение в окрестности
точки х=о,
-t=o имеет диаграмму, указанную на рис. 4.9, а .
Доказательство. Рассмотрим сначала вопрос о существовании решения с
соответствующей диаграммой. На плоскости (xpt) выделим три зоны и искомое
решение в них обозначим Ul(x)4) , (.= 1,2,3. Именно,
ил*,4)= p"(x + \PTq-l)) +^(х-у/Тгй-0 при ?"(?)=
А
A'ftA
фронт сильного сигнотона,
(4.27)
Ub(x:,Y)= fbCn\nTq-t)+(J5(x-'yHq-t\ X^\fTTq-t.
1
где
- 46 -
о ?
Из условий склейки на прямой x=N^+q-t имеем ?*($) =
Далее, условие склейки на фронте oc^"w-t') приводит к системе (4.15) . Из
первого уравнения системы (4.15).учитывая, что fi - " получаем
уравнение для функции <*_ <
Р(о!.,-0^0, (4.28)
ЫчЧГ+З !>
= AVTTq {\(^\Г?Гъ\) + рр=- ^ vA(V>d:>,)~
о о
- (уДТД + чГГ^^(ui(ciхчД^а- ррр ^ V'"(>S)A^) - (4.29)
о
-(yiTq-^y ц< (<к~\ГГ<х-\)+ ^ Vd(>^d>V
<*--vTT-Э -fc
Существование искомых функций "Ц-Н следует из теоремы о неявно! функции.
Из условий теоремы 4.1 следует, что
(о,о)= ал/ТТД ^(о)-д\ДТц \aC(oV J.\ix(o)-AV,(o)
^Д'ЯТо Ti;(o)+i\/Tr-a 'UlM + AV^c)- 3.V<(o) ^o.
Для функции <*(+) должно выполняться неравенство - NfTvq d 4 cH.4;)^ -
\!T~Ot t •
Sto неравенство будет иметь место для малых -Ь , если
- \h+ct j.'(o') - -- bki(r)L^l ^ ->JTrQ • (4.30)
р;к<л
Непосредственно проверяется, что из условий теоремы4.1слсдуют со
отношения (4.30).Из условия склейки на линии тс = ы.(4 ) находим
- 47 -
эи4с 0) ДМ,( " ¦ <1"Ух * °¦
ЪХ. ' ) ЪХ ' (^lof-(^cC) U'foVjM*^
Поэтому (эс,4) = ^(.x+x/Itq-t)-t ^(x-Vuq-l) -монотонно убывающая функция
х при малом фиксированном ^ . Тем самым суще-
ствование решения с диаграммой,изображенной на рис. 4,9,а,доказано. Из
теоремы о неявной функции следует единственность такого решения. Для
завершения доказательства единственности решения остается показать, что
при выполнении условий теоремы 4.1 не могут реализоваться диаграммы,
изображенные на рис. 4.9,б,в,г.
Диаграмма рис. 4.9,г не реализуется. Это следует из леммы 4.2. (случай а)
. Диаграммы рис. 4.9,б,в также не могут реализоваться, так как
существование решений с такими диаграммами невозможно при выполнении
условия (4.26). Действительно, если имеет место диаграмма рис. 4.9,6, то
из уравнения (2.16) для фронта слабого сигнотона следует, что
Vuci Цд' (o^+'/Tq к/(о) +и*(о)-\ЛМ = О. (4.31)
Это равенство противоречит неравенству (4.26). Пусть реализуется
диаграмма рис. 4.9,в. Тогда решение можно представить
в виде
W)<h,
1 г
(^33)
U(xj4r)r гц(х(4)= + v/T-Q-l±xi.\jT7a-bf
If Cx|^) = TJv(x,4rV ^(x+\/?+q4)+^Ct'\IT+a4); \Z7+a4 6 x;
_ 48 -
Между функциями имеются следующие соотношения
р, m- ^угуо о /^Lt!(Ек •*-
' \П7п -*УГГГа PV Л\Шл *
Таким образом,для функций мК/ И3 получаем формулы
Ч('Л>'1Вй, w."i
vT+qtvA^Q pv ^v/Fa
. fax r^v Щ7Ц ?, (?1^3 (flat -4
\ил<к-\[Щ (4.35)
Для того, чтобы реализовалась программа 4.9,в .необходимо выпол-. нение
неравенства о . Отсюда следует, что
