Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяющего неравенству (3.7), возможны лишь J диаграммы,
изображенные на рис. 4.9. Остановимся сначала на ддм аграмме 4,9,г.Мы
сейчас покажем,что при некоторых предположениях! относительно начальных
условий эта диаграмма не реализуется. | Именно, имеет место следующая
лемма. 1
Лемма 4.2. Если выполнено условие (4.10) и выполнено, по кра|
ней мере,одно из условий: 1
а) U.J, (х) >? С > о при ос ^ О, Л
б) u О'(ос)>,о при х< о, иЛ-сО'ГГа-\70' (-о )+ о у I
то решение задачи Коши, удовлетворяющее условию (3.7), не может J в
окрестности точки i-o, х=о иметь диаграмму, содержащую диаграмму,
указанную на рис. 4.10. :\
Доказательство. Пусть диаграмма решения u.(x;-fc'> содержит' jj
диаграмму, изображенную на рис. 4.10,и пусть х= ои4г)-$ррнт сильного
сигнотона, который является строгим локальным максиму-i мом решения. Для
u(x,-t) имеют место представления
иСт-0 = {х +VFa-l;) + Q(oc-'/Pq-t4)
1 1 ' " (4.14)
U(r,4r)= рл(х+\/Щ-Ь)
Из условий склейки на линии ос="а(4) следует, что А\Д+0 = (VTTQ -v 1<M)
+
+ (v/<Vq ) I C'i)-V-f-A-t)j
-\fua-t) " (VT+a (4.15)
+ С-4).
Так
- 41
как = о , го
чГГГсГ + " / уГ^а -
Ч*Н^" \Д^а-^ ?AWT^+^ ^ )>^ >0- (^лб)
Итак, для определения функций p*(f) получаем си-
стему функциональных уравнений
j\Д7с ^U(-t)WuU) = (^q +tt)frU&)+^iy{\iib.^a)<iM6)-fa^
.,- \Я+о+\/Гч ^ /'/<+а-\Я:^ / г- I . ,(^Л7) lvT+a--pr-- Га\^=:-~ W<+at-
j(4M--\ft+q-v/Fc,' 4 \Д+а ^хД^а /
^ (\Гна-\Д::а)р1(а1-(г')+\У4-а-|:') + (\ДТо WT^)<j,('"*(V)-\/r4-t').
Продифференцируем уравнения системы (4.17) и полоним -1=0. Получим
следующую систему уравнений:
iVTTq (а-'(оч)+\ДТо)^(о) = (\/Т^+\/Т^)(лЧо) + \/ьо|)^/('о) +
+ (\1Т+а ~'Д^а)(.^'1о)~\[Го^) ({< /о);
J.\/uo (\А-+ц - oi.Yo'i')^ (о) = (YJ+q-\/Т^а )(^4o)+\[T~c\)^i/(<3)+ ^
^
+ (\M+q -vS/I^q) (.<*•'{ °) -'ДГгсГ) c| {( о)
Из системы (4.18) следует, что
С^-19)
Исли р,'(о)+ (f{ (о) <= О,то,так как ^ О f из второго
уравне-
ния в (4.18) находим, что
Р^о)=----------" tfo). (4.20)
1 V<-Mч 1
Если ню (о) + ср"(о) > о 1 то из (4.18) следует, что<*'(о)^ ~~Ч7=с, и из
(4.18) опять-таки следует равенство (4.20). Докажем сначала утверждение
леммы 4.2 в случае б). Продифференцируем Два раза уравнения системы
(4.17) и положим -t = О . Тогда,учитывая равенство (4.20),будем иметь
уравнения:
6-1
1
- 42 -
jiA/TTa (схЧо)^\/ТТЬ)^(о^^\/ГГа+^у,,(оХ^о) + ^'Ц +
+ U'M +\Я^)у(оХ^а+\/Га)+(^-\/Га)(с17о)-ЧГо)^'/Го),
x'Jht Щ** (Zf*2I>j
\M+a-v\ft-d \ ' ;
+(\[т~\ГГ" X^oV'/bftf^Vo^+l^a^X^ioVV^T'^fo),!
Исключая из этих соотношений ct"(o') , находим, что *\/йа (^-^)((^ffra-
jJ(o))X- U'(o)+tfTcLf)fl(°) - (iK22)
= U' (о} -\fiTq f ((\ДТ5 Wir'df-^TTd -\Я^Г)А) () ^ (о4).
Так как u'xio при dU-t) s. x.6-\/XX*t , то из (4.14),(4.ij
следует, что (<=>)^.о • Из условия б) леммы вытекает, что <|1|'('о')^ о .
Эти неравенства противоречат равенству (4.22). Итак, случай б) леммы 4.2
доказан.
Пусть <*(-t); ~ решение системы (4.17), причем
ы(4г)- -VT^-fc - pi-h , ^(Х) > о при i > о ,
^(о) = о .Из усло-,1
вия а) леммы 4.2 имеем, что
и: (-о) = fi(o)+ с^н(о) > о .
Поэтому, как следует из (4.18), р '(о)- о . Введем переменное тг,
связанное с переменным -t по формуле
^4)+vTTa-t - (\ЛГс<1 - А(го),
'ATci ¦+ \ЛГа '
или
(\/7Ta-\Arft)(i-'t) = +
Из формулы (4.23) находим, что Дч/TTq
\fTTg-уДТГ^
\Д+а + \ГГга
'СО
Х-'t г'
5-0.
Р а)+г, ?^)=)
(4.23)
(4.24)1
- 43 -
где при-Ь-> о . Исключая из системы (4.17) функцию
fXt) * получаем уравнение
(f^V <0" ^ . (4_25)
г(\ДТё-\/Га)р1(-р№)') +С\/^ + \/Ра)с|^-1\ДГаТ:-рсг)).
Из уравнения (4.25).используя равенства (4.24), имеем
('?,'(о)+ч;(о))у1±)= ,
где $(4:)-+о при X -* о . Отсюда следует,что pii)= о .
Лемма 4.2 доказана.
Замечание 4.1. Если х-еЦ-t)- фронт сильного сигнотона и -Я+ё ^ О - \М-ц ,
то уравнения (4.15) представляют собой необходимые и достаточные
условия,связывающие решения уравнения (I.I) перед фронтом и за фронтом.
Отметим, что определение обобщенного решения уравнения (I.I), вообще
говоря,не предполагает кусочной непрерывности его первых производных, Б
частности, эти первые производные на фронте /x=dit4) могут быть
неограниченными. В этом случае соотношение (3.3) на фронте сильного
сигнотона теряет смысл. В то же время соотношения (4.15) по-прежнему
справедливы.
Замечание 4.2. Подчеркнем, что в лемме 4.2 важную роль играют условия а),
б), налагаемые на начальные условия. Приведем пример решения уравнения
(I.I), удовлетворяющего условию (3.7), для которого реализуется
диаграмма, изображенная на рис. 4.10. Положим cj<(^) = А , А>0 ,
<u-U= -(VT^ ,
о <. vA + q- Xt-a . Принимая во внимание (4.22).полоним
м?) = a
5. VTTp (\ДТц - VTTq. ) (\ЛГД ^ ^ )
Очевидно, что pj
> о
и поэтому в формуле (4.14) u'x(.x/t)co
при dX) ^ х < -\Д-а С. функцию fi(^) будем искать в виде РХ %} - .
Коэффициент & найдем из первого равенства в
(4.21)
X ^ а, {\fT~a +¦ ^}
6-2
- 44 -
Число должно быть выбрано так .чтобы А + В ^ О .в эгом случае при 14 о
функция и0(хЛ имеет вид;
а0 (х) = ^ (х.) + с) L (тс.') = ( А + В ^ хА.
