Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
теоремы 4.10 . Именно, мы зададим функции р^, рл,с^<.4), ^(.4 )
11 Ни.,дец из системы (4.77) функции р C|JL; рЪ; ^ ь (это легко 0Делать).
При этом будут выполнены условия теоремы 4.10. Перепишем
9-2
- 68 -
систему (4.77) в виде;
A\faq ^UitH\/v^4)^(\/r^+\/r:o)^(dii()W4al) t(yrTq-\/ro
CjJj^-VFq-Q - ('/нч -ЛЛа)^(аШ'АЙч^ + Gj<TqQ) - l/R4\
/ 4 (4.78)
i\JTo !>ь(^4)Wm4) - [Ш +'/Tq +\ЛТ"4) - (\Д7" -v/Го^(^(4) -\Д+а J
3l\Z4q (| ъ (^(4 V \f4a4) = - ('/hq -\Пгч) p*(pi4)+\/Щ4) + ( \/Kq ^'/Fa )
<{j/ ^.(4)-^
Для выполнения условий теоремы 4.10 достаточно выполнения следующих
условий:
К<(о>0, |>'(о)^(о)=ц;lo)>0/^loy0/ ^ (о),о,4Л0),0/ Сь (0)< о. (4.79)
Функции мы выбираем, причем ^1(о)+^(о)-ц'(о)'?о/
- v/TTq ы.Чо)и ~\1{~а , v/но ^ р / °)^ vA+o. . Тогда из уравнений
(4.78) или (4.77) следует, что pdf0'* + Чл(°) >о . Тем самым
выполняются первые два условия в (4.79). Начальные функции и, схр) vt
(х.') возьмем такими, что V^to) >\4rraU|(o)>o . Это обеспечивает
выполнение третьего условия в (4.79). Далее, возьмем какую-нибудь функцию
<*(4) такую, что -\fm ^-di1 (о)^-\Л^} причем, как будет показано ниже,
число ol'Co) удобно взять достаточно близким к -VT+a .Тогда из первых
двух уравнений находим функции ^*,4*. и
Д\ДТ<Х Рд(оу(е1.'(о)ч-\ЛТс[')^ 1д, (о)(\Я+Д d'fo) + 0-а))+
' (4.80)
4 V< ( об(сШ'(о) + \[\+Ъ ") "
Равенство (4.80) показывает,что при достаточно близком
к 4/ТГа, выполняется неравенство р^/о) <о .Из третьего равен* ства в
(4.78) находим:
A\TFa {>;(оАр7с^\Д^^(\ПТа^^)^(о)(^,(о') + \ДТа)' -Wi+a-'/wO ^(o)(p'(o)-
\R+Q ). j
- 69 -
Если взять fi' (О), достаточно близким к 'Н+а. , j%'(o)< 47+^,
10| учитывая, что р*(о) х о, будем иметь ^ (о)г. о .Это четверге
неравенство в (4.79). В дальнейшем для простоты будем предполагать, что
Л"(о}=.о , (с) =о .В этом случае из (4.78)
следуе*. что
, , ___\л (у/Щ+у/ГоУрЧуД4а) Г/
(4-81)
^;'(о)(дч\/Уа)А + -у/м)<|? j -(у/ии -y/R^o)(ft^|i
рассмотрим c|"(°V.
" н , \ 1U(°) ( м1 IЛ
v1"'"- - ' SvnjVllo>-
Возьмем Vt'(o') отрицательным и u [' (о) отрицательным, так что
<jJ'(o)>o, (А (о) л. о и \рф'(о)1 существенно больше <^,Yo). Тогда,
учитывая, что ^'(о) близко к хАТа. и что ) не зависит от р>(4) , из
равенства (4.81) получаем р?(о)"г.о.
Таким образом,установлены последние два равенства в (4.79) и,
следовательно, доказано существование решения задачи (1.1),(4.7),
(3.7), имеющего диаграмму рис. 4.12,6.
Рассмотрим в некоторой окрестности зе " о начальную функцию ЧсСх-} такую,
что xu!(x)<lo при х <с о и Uj Сх) ^ о при х> о , (o') г о . Кроме
того,будем предполагать, что в
окрестности к-о начальные функции u"(x); v0Cx), удовлетворяют условиям
(4.II) и
Напомним, что условия (4.11)^4.82) определяют решение задачи
(I.I),(4.7),(3.7) в областях х^уЛПГа.4 , xt-y/ТТа-Ь . На рис. 4.13
изображены возможные в этом случае диаграммы решений.
Лемма 4.4. Пусть и.Чху^о при х < о и выполнено условие (4.82). Для того,
чтобы прямая -х/1+q.t могла быть в некоторой окрестности точки х = о;4=о
фронтом полусигнотона реше-
- 70
ния задачи (I.I),(4.7),необходимо, чтобы \ДТо. nil *[) -v/QUo
при о > \
Доказательство. Пусть и.(х,4)_ решение задачи (I.I),
(4.7) , для которого х^-\/7+а.4 является фронтом полуеигното-на.
Обозначим через решение
^(xi-v/T+ai)+ t|,(x-\/TFa4 ) ; xt-vF^Q-t,
^ 5 v<M<b I
и через 1Дх(х,-0 ' (x+x/T^a-t) + qj^Cx- '/TaA ) решение
^(x,4) при x >/-vTvTa-Ь . Функция Q^C9) выражается через
?4V
Следовательно, функция U^Cx^") имеет вид;
V.tx,tb?"U.JT"4V и-^аЦ.
' /ГГа - \Дч1 1 vFTi+tfR
Так как ^ua/7ix?/0, I0 ^'(•pvo .Функция Рл (? ) выражается через функцию
отсюда следует, что условие >, о эквивалентно неравенству 1
ц'1 ( р " о . Лемма доказана. I
Лемма 4.5. Пусть U.d ( х) ^ о при х > о и выполнено условие (4.II). Для
того, чтобы прямая х= <ЯТйЛ могла быть в <
некоторой окрестности х=о^4 = о фронтом но.лусигнотона решения задачи
(IЛ),(4.7), необходимо, чтобы I
о при o^5^S-.
- 71 -
Доказательство. леммы 4.5 аналогично доказательству леммы 4.4. Теорема
4.II. Пусть в некоторой окрестности х=о выползни неравенства и^(х')^о при
х<о , о при
тс>о и еще выполняются условия (A.II), (4.82). Для существовали в
некоторой окрестности решения задачи (I.I),
(4.7), (3.7) с диаграммой рис. 4.13,а необходимо и достаточно выполнения
неравенства
\Д4ц Ti^) + ^(A)+VTTa К,'Q)-О,- Я *?">^<5(4.83)
причем решение с диаграммой рис. 4.13, а единственно.
Доказательство. Решение и(х,4Л задачи (1.1),(4.7),(3.7) с диаграммой рис.
4.13,а имеет вид;
и.Сх,4)-Wj.(xA)= ^(x+VTta.b)^ (|Л(х-\/ГТаЛ ) у xt -'jT^aLi,f
HV-v-TV-"AP4 Zm ¦ l !
^Cx.b)^ - ^i(x + 'iT+aA)^ <|л(*-'/нга A"),
(хАЬ^ъСхА)=^(х+'(ТГ4^4С|ь^-\Я7"и, \JKaAt-x .
a
Из условий склейки на прямых х>= i 'h+a.br имеем
uiM.es) , va)- vtn.
Условие (4.83) равносильно неравенству Т)К^/т>х ~ ° • Единственность
приведенного решения очевидна.
Теорема 4.12. Пусть в некоторой окрестности *х = о выполнены неравенства
(4.II), (4.82) и
(4.84)
-72 -
Рис. 4.13
^ЗБЕ
Р ' 73 "
4a.(1$)'vV/i 05)^ 0 , (4.85)
