Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
5
Ч'Ф* UjJ^)+ 1\Пч[У,Ы)^ > +
! -
то из неравенств (4.68),(4.69) следует, что cj' (^) >о, \>д.(5)>0. Тем
самым существование решения доказано. Покажем, что при выполнении условий
теоремы 4.9 не может существовать решения с друго! диаграммой. Диаграмма
рис. 4.12,в не может иметь места в силу леммы 4.2 (случай а). Далее, из
условий (4.68),(4.69) следует,
410
поэтому И('-\Яга^4г)г u-(v/T^t^-t). Следовательно, диаграмма рис.4.12,б
не реализуется. Предположим, что существует решение, с диаграммой рис.
4.12,г . В этом случае и'х>^о при х^. e"(-t\ (х=^>(.-0 -фронт сильного
сигнотона, -\17Ta. 4 (4) ? - )}
и х ^ о при ^t-t) e XI ju4'1, х= о(.<А) - фронт слабого
сигнотона, I cJ-'(A}| i \/ч-a ). о при х >, ы(4).Для решения
u.(xfV) имеем представление
u(r,i)= ^(хч-\/ГоА) +^(x-\Ara.'tX xt^c-t),
I
^CxA)= Ръ(х+'/<г<Н) + ^(x-'Ara-t) ; Ja4) 4x. & VPa-t, a( t, 4) =(>,, (х +
'/<ЙН) + ^ (x-^ ,
Pv(^)r <jv^ .j
- 65 -
Из условий (4.68),(4.69) следует, что > о , q > о .Условия склейки на
прямой x.VFcL-t приводят к равенству (~^) * ^Ч(^). Из условий склейки на
линии atl) следует
q' (-s/T^-fc) = P*(a(4r)WT+a^
' (4.70)
-\/?* fJ(*WbVPa4
Равенства (4.70) показывает, что при^со .Условия
склейки на линии х = p-t) приводят к системе (4.15), из которой находим:
q^Cр(-0 -\Д+Н )(p' -Vua) - -[(ЛР" -\/Га)(^+\/Г" ) J><(pU)WTHV
(*•71)
+ (\Д+е +"/мХ ^ - 'fi=a) <|[ (^ ~VP"-t)] = (vAPq - VT^ )"
>(^-"-\/Pq)'uJe(^(4)-o^)+ 1У/Га(^-'/йа)^ (^-VbiH)],
Так как ^,х{^Уо,Ь)>о)^(^)уо) (?) *• °, -'fi+'U рЧ-\/ГЯ,
то равенство (4.71) невозможно. Совершенно аналогичные рассуждения
показывают, что в условиях теоремы 4.9 не может существовать решения с
диаграммой рис. 4.12,д. Нетрудно привести примеры начальных функций
\л0(х.) , , для которых выполнены все
условия теоремы 4.9.
Теорема 4.10. Пусть в некоторой окрестности точки х-о
выполнены условия ч1(х)>о при *со, гО(х)>опри х > о ,U{(o)>o
\Гтъ[Ц)-Ч*(Ч) <-° ,\*0> (4.72)
, ^>о, (4.73)
v/TaUt'Cp -v4/(7)>0 , (4.74)
^ ^(Л) , !>о" (4-75)
Тогда, если в окрестности x=o;-t=o существует решение за-дачи
(1.1),(4.7),(3.7), то оно может иметь лишь диаграмму вида рис. 4.12,6.
9-1
- 66 -
Доказательство. Из условий Ud(o)>o , Ч^(о)уО следует выполнение
неравенств (4.10),(4.67). Таким образом, решение за дачи
(I.I),(4.7),(3.7) может иметь диаграмму, лишь указанную на рис. 4.12.
Утверждение теоремы состоит в том, что в этом случае не могут
реализоваться диаграммы рис. 4.12,а , 4.12,в -
4.12,д. Из условий (4.72),(4.73) следует,что для функции UCx,-^
определенной в (4.66), выполняются неравенства
u.(-\Hrat,-fc') > о > a , -fc>o.
Отсюда следует, что не может иметь места диаграмма рис.4.12,а . Из леммы
4.2 (случай а) находим, что не реализуется и диаграмма рис. 4.12,в. ¦
Рассмотрим теперь диаграмму рис.4,12,г.. В соответствии с этой диаграммой
решение можно представить в виде:
м.(*,4) = (>< ( 4)+ ^ (х-\ГГц4 ) при X t cU-L^,
где х=ы,(4г) - фронт сильного сигнотона.
ш(х,4) = + + cjx(x-\/T+a 4) при °u4H xi|>(4)^
где х=^>(4) -фронт слабого сигнотона.
Ц(х,4) = х-хДГцА) при ^(4)4
u Сх,4)-= ^ ( x4N/4x(-t) + ^ -\Гьц 4) при 4 t х .
Для функций ^ с|г имеем соотношения (>i (р(4) + \TTa-k) + c\i (p(4)-
v/T^3A) = о,
р) (^(4)ч'/Га4)-+ "]" (f>W)-'/To(-t) >^о.
(4.76)
Дифференцируя первое равенство в (4.76) и учитывая, что\ь'(4)|*
Л~$)
* , находим, что ^ о . Так как ^(f) =
и так как из (4.75) следует, что , то полученное про-
тиворечие показывает нереализуемость диаграммы рис. 4.12,г. Аналогично
доказывается, что при выполнении условия (4.74) невозможна диаграмма рис.
4.12,д.
Замечание 4.9. Вопрос о существовании решения задачи (I.I),
(4.7),(3.7) с диаграммой рис. 4.12,6 приводит к задаче о разре-
- 67 -
шимосги системы функциональных уравнений. Именно, пусть и.О,4)-р0Шение
задачи (I.I),(4.7),(3.7), имеет диаграмму рис. 4.12,6.
Тогда это решение определяется формулами
u(xyt)= p^x+v/Pa-fcW ^(x-v/Tat) при
Гд0 oL(4) - фронт сильного сигнотона.
и(*Л)- ^(x + '/TTci-t') + <\yCx-\n^~OL-i) при Ы(4Н X t j.i-4^ где ос=
^4)- фронт сильного сигнотона .
иОД)= *члДГйи + 9Д*~\Д:аЛ') при
Функции считаются известными (они легко выражают-
ся через начальные функции u." (х)( V.(х} ). Функции р*,^, d(4), р(4)
являются искомыми. Для этих искомых функций из условий на фронте сильного
сигнотона имеем уравнения (см. (4.<г) ).,
Зь1ТД^(а*0+'/?":Н') = (^a -vNA^ot уч (e4t-t>+у/^=а -t ^ (4) - v/Pa -t X
1'Jkq - ()Щ - У/Зи^М:)+^4)+(\Д+ц+\/н5') <^(oU4) - VPZF -t) (
(4.77i
Л\|КчЭД (4)+\lm4) =(\ДТц +\A^a)^(4) i) ¦+ С'Д+Д -a/r)<^(^(4) -y/Pa-t)
3L\/uq <|Д?14У\/ШИ^ -t Ш f(^
Заметим, что если система (4.77) разрешима и u(fo)>o , то функции р^, ^д.
окажутся такими, что cj^_(o)^o. При
этом, конечно, предполагается, что -\ДТа ^ ы1 (о)^-\Д^ . Таким образом,
решение Ц.(х, 4) , найденное из (4.77), удовлетворяет ус-
ловна МОНОТОННОСТИ "Эи/ъхсо при J.4) 4 X t ^(4) для достаточно малых 4
. i,!u не будем исследовать разрешшость системы
(4.77), а ограничимся примерами ее решений, удовлетворяющими условиям
