Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(4.7), (3.7) с диаграммой рис. 4.9,а . Для того, чтобы такое решение
существовало в некоторой окрестности точки Х'о(4, = о, необходимо
выполнение неравенства
Ътс.
- ^ ((\ZFTq+v/tFa)i)+ (\/г+ч-'/Г:й)-1)< о.
>x. = \fTat
Н!ля выполнения (4.42) при малых А>0 необходимо, чтобы
lV/Fo -Vi fo)) ^(v/74x(-A/M)('U^(o)\/T+q +\1±(о)) (4.40, ^
(°> +<}/ (о) + ^'(о')(\Д+С( -VTq ~(Ц' (о) (\U+q -v'/F:aH - ^
^
и достаточно выполнения неравенства
(¦: .4
7-2
(4.44)^
-sail достаточно, чтобы при малых -Ь у О
&(°) + ^(о) + Ра (о)(\/Ы1 +\1П,){ д о,
pito) + 9Д0) •* p"fc +v/,=Q>t- + О.
Так как ol'(o) --NfPq , то из (4.15) следует, чторд(о) + <^(о>о! Поэтому
условия (4.43),(4.44) имеют вид*
РаШ^Та-\/Го <\"(о)(\!{Га +*Га) ± о
Ра(о')(\Д^+\^)-^(о)(уД?'сл-'Л^)^ о '
(4Л5) ¦;
Pa(o)(VT+q - ^(о)(\ДТа +\ДГа) ^ о
P^o'jC'Ja+Ci +4^) -<^(o)(y/I+lx -VThx) д о Из системы (4.15) находим
"(\/T^t\/ro)(p<7o)t9((o^a'Yo)+^(^aX^-\/R)9(7o) '* ° " AVTTci (у/Щ
-\1Гь)к
, _ (^-^)(р<(оНд>)УУо)4^р-<^\/й~д+\Д^)9^о) _
' JL^oy (ДДй+\А^ )х
(4.46)
- 53 -
Отсюда следует, что
Ра (о)(\Д+сс-\/н* )- ^Со^Л+с! ^ v/ч^а^ - ".<*." (о ^ vt>o.
Таким образом, первые неравенства в (4.45),(4.46) установлены. Так как
XV< + a. - Vt+Q. ua ^5 )+" V^ (.^ ) . *° в силу
(4.13), pi'(о) t о , Если <Ц'(о)>о, то неравенства (4.45), (ii.46)
очевидны. Пусть ^(о^о . Тогда легко видеть, что
Ра (oXvfTPa + ^ )-с\К o)(\/T+q - \дг^ ^ р;(о)(\ДГа - \ZFq) -
- ^loHVT+oi -^а.) д О.
Теорема 4.5 доказана.
Замечание 4.3. Если выполнены условия теоремы 4.5 в случае (4.41), то
решение задачи не может иметь диаграмму 4.9,в . Действительно, в
противном случае, полагая в (4.39) 5 = о, из
(4.31) находим, что Lo')\U^a-\1±'(о) ^ о . Из (4.13), (4.31),
(4.39) имеем и.д(о)\Я+о. + vA*(о) = о • Полученные соотношения
противоречат (4.41). Решение этой же задачи не может иметь и диаграмму
рис. 4.9,г, , что вытекает из леммы 4.2 (случай а). Теорема 4.6. Пусть
выполнены условия (4.10),(4.11),(4.13),
Тц) (х)>о при хдо , и<((х)до при х>о ,и[(о)^о
и
\ДТц U|(o) -у-ХДю4) -Vj. (о) до,
(4.47)
\ДТо Ui(o)-V^(o) До. (4.48)
Тогда в некоторой окрестности точки х-о, -t = o существует решение задачи
(I.I), (4.7), удовлетворяющее условию (3.7) и имеющее диаграмму рис. 4.9,
а , причем это решение единственно в классе функций с диаграммами вида
рис. 4.9, а .
Доказательство. Из функционального уравнения (4.28),(4.29) Условия
и[(о)=о и(4.47) следует, что ы.'(о) = - уДГ+Д. ,где
: = <U-t) - дронт сильного сигнотона. Далее из этого же
функцио-
нального уравнения находим dL"(o);
- 54 -
<L"(o)= u"(o)~\lj (о)) , (4.4 9)
\J<Ta U^(o') + VJL(o)-VH(o)
Заметим, что в силу условий (4.47),(4.48) аД'(о)> О .
Далее,
из системы (4.15) находим
о'(п)*л'(Л)- ^ +Уа(о)-У У (о) (4.50)
1 ^ х.\КГа
Таким образом,условие (4.47) показывает, что ^(0,0)^ О,
где иА(х(4) определено в (4.27), то есть, Ux(x;i) - убывающая функция х в
малой окрестности точки х = о , -fc = о . Существование решения доказано.
Его единственность следует из теоремы о неявной функции.
Замечание 4.4. Отметим, что если в условиях теоремы 4.6 хотя бы одно из
условий (4.47),(4.48) заменить противоположным строгим неравенством, то в
таких условиях не может существовать решения задачи (1.1),(4.7),
удовлетворяющего условию (3.7) и име-| ющего диаграмму рис. 4.9,а . Это
следует из равенств (4.49),(4.50).
Пусть начальные функции удовлетворяют условиям uL(o) = o, \ДТа 4<!(о) ¦+
v/jjo)- Vi (о) = О .в этом случае при нахождении решения с диаграммой
рис. 4.9, а можно использовать уравнение (4.28),(4.29). Однако в этом
случае ыЛо) будет определяться из дифференциала второго порядка функции
F(d,-fc) и соот- * ветствующие формулы получаются громоздкими. В связи с
этим мы рассмотрим один простой случай, который уже упоминался в § 2.
Именно, в § 2 отмечалось, что при гладких начальных функциях, вообще
говоря,может не существовать гладкого решения задачи Коши ни при каком
сколь угодно малом -fc . Покажем, что в этом случае существует обобщенное
решение задачи Коши (I.I), (4.7), (3.7).
Теорема 4.7. Пусть Uo(x-) -дважды непрерывно дифференцируемая функция в
окрестности точки х = о, 'Uc'(x)>o при х<о , иф(х)<о при х > о , г*фЧо)<о
f \l0(x) - непрерывно
- 55 -
дифференцируемая функция в той же окрестности и
\ДЗа. К2 (о) - VJ (о) < о . (4.51)
для того, чтобы существовало решение задачи (I.I),(4.7),(3.7) с
диаграммой рис. 4.9,а необходимо выполнение неравенства
Vo (о) х ( av/bcL -\JThl ) Uo1 (о) . (4.52)
Для существования в некоторой окрестности точки х^о t~o решения задачи
(I.I),(4.7),(3.7) с диаграммой рис.4.9, а достаточно, чтобы
V:(o)<(i\R^-\[^q)-u''(oV (4.53)
При выполнении условий (4.51),(4.53) решение задачи (I.I),(4.7),
(3.7) для указанных в теореме гладких начальных функций единственно и,
следовательно, имеет диаграмму 4.9,а .
Доказательство. Установим сначала необходимость условия (4.52). Если
существует решение с диаграммой 4.9, а , то для фронта сильного сигнотона
x-oLC-t) должно выполняться соотношение
