Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть существует при -t t о решение u-(x,-t) задачи
(1.1),(4.7),(3.7) с диаграммой рис. 5.2,в. Это решение имеет
представление:
Ч(х,4) ^ ^ (x+VPflL-t)-^ cj1(x-'/Ta.-t") ) xtVPa-t, uCx,-t) с р4 ( xi-
v/Fi-t) + <\л, (*- y/Fo.-t') , vA^L-Uxt-vFU, и(г,4) = pb(x-v\/Pa4;) +¦
cj3O-'/Fa-t')? -\/FaA ^^,4)= p^or-v'/uol4) + ^ (x-'ATaA') 7 -vR+a-t s.с .
- 83 -
МежДУ функциями Pi. выполняются соотношения _
умииУ/Ш 1 4 vluct-vfFo. >
W?) ХЯЧ
Функции р<, <^<) pi|/ (|ч определяются непосредственно через начальные
функции Uof'x')^VoC^4) .Остается проверить условие монотонности
Ш ,__ , Г___ I
'-ох ^ ° при -\/l-oL-t ^ "эс t -VA-va-t,
о при \fiHi4 ± я. ^ -\ДГ01-Ь .
Первое из условий совпадает с неравенством (5.18), второе условие
монотонности эквивалентно следующим двум неравенствам:
rblx
гдх.
> О ^
<" и , гъ-z.
isvTRL-t
о
х = - v/lr-ftA
Первое из этих неравенств совпадает с (5.19), второе- с (5.20)
Замечание 5.1. Из теорем 5.3,5.5 следует, что существуют начальные
функции u.0Cx.),ve(x')/ для которых имеется два различных решения задачи
(1Д),(4.7),(3.7) при -t^o с диаграммами рис. 5.2,б,в.
Теорема 5.7. Для существования, при -Ъ^о решения задачи
(I.I),(4.7),(3.7) с диаграммой рис. 5.2,а необходимо, чтобы
uj (-oVv"(-oH'/\TclI^(4o') -V"(+ о) >, о. (5.21)
Доказательство. Пусть решение u.(x,4r) задачи (1.1),(4.7),
(3.7) при -tto имеет диаграмму рис. 5.ф . Тогда оно допускает
представление :
П-2
- 84 - j
. 1
Ч(т,-Ц = ^С*+\А:аЛ) + (|.<(т--\М-аЛ ) , х^\/ЩА ,i^Co)v<j^)>,o, ¦¦¦!|
U(r^) = ^(xW^r + <|s(x^ft^4:)-\^UxMU^(o)+(^(0)>/0> (5.22) f UfT^^f-
iCx^N/TratV^C^-^^^i^txt-VFat p^(°j+^(;o)4o,. |
U(t±) = %s(x+\fi^) + <\s(x-^ityf\fMi+?x., ps(o)^'(o).?o.
Между функциями p-t;CjL выполняются соотношения
?A r Pa , Я[а = <\i , * Hr '
Для фронта х=Л(4) сильного сигнотона должно выполняться условие Who. ^
"C^-NTPTi , Кроме того,на фронте x^oU-t) выполняются соотношения (4.15),
которые в данном случае имеют вид:
1\Д+о.^ ¦v\/l=<i^-i(_dL-v-\/4::A-t>)+С'Л+о.-'/Г:а^ >• (5.23)
31\ДТа (|^cL-\/TTQ^-l.\^-\/ra)^(^^vrQ-t) ь(\дтд-^Го)-5
* ^U-VTA-t) -
Итак, если существует .при -t.4 О решение задачи (1.1),(4.7),
(3.7) с диаграммой рис. 5.2,а , то выполняются условия:
(5.25)
pi^ + Чь(°^ >/0' (5.2 6)
Рь (o') + (5.27)
^ (о) + <| 5 (о) ?о, (5.28)
fy(o) + <(s(to) *= о. (5.29)
- 85 -
1'Д+о. (.Л^о. C"l'Co
' (5.30)
t (\fuo. -^Fci)^(o)(л(o) ) t
4\A7a (o)(jk'(*V\/HA') - ^ ^
Ч^+\/?^>^(о)(лЧо)->ГГ*),
-\ПД t А'(о)<.-\/Га. (5,32)
Мойю показать,что неравенство (5.28) следует из. (5.27),(5.30)-
(5.32). Неравенство (5.27),о учетом (5.31),(5.32),эквивалентно
неравенству
\А^ рь' (о) -v \ГГГ*. ру* (о) >. о > (5.33)
а неравенство (5.26) в этих же условиях можно переписать в виде;
(\ЛГ+Q. -vч/Т^О. Х~Л1 (о) -V \Дн? ^ pi (о) -V 4 VT+a i (о)(-ЛYo) t \/U4^
>S
В силу того, что - j-'-VFa >, о ) из (5.33),(5.34) находим;
pt' (o') + \ЛПГа (о) >,-<?.
Полученное неравенство совпадает с неравенством (5.21).
Замечание 5.2. Из полученных результатов следует, что если для начальных
функций выполнены условия UJ (+оУо, 1<о'(-о)>о ;
\ft-4. 'Ui(-o') -*V0(- СЛ+ \ДТа К*' (+о} - Vo (ч-o') ^ О , то не
существует при -t. fe О решения задачи (1,1),(4.7),(3.7).
Замечание 5.3. Пусть uCr,-t) - решение уравнения (I.I), являющееся
сильным сигнотоном с фронтом г=Л(4). Фиксируем
некоторый момент времени ^ . Тогда при решение имеет диаграмму рие,
4.6,", при 4 i 4. ращение имеет диаграмму
§§ рис. 5.2,а . Таким образом, для этого решения долшш выполнять-
ся ся одновременно условия (5,.21),(4.37); они выполняются,
II-3
если учесть, что для начальных условий, определяемых сильным сигнотоном,
должны выполняться соотношения (ограничимся случаем локального
максимума);
U * (1-o')О > пЦ-о)? о J Uo (¦+o') ((.х'Со))1^ (4*01У) г
= 'Ui(-o)((x4o'>)A-(-(-7 к; (-vo) x'(o)^V0(_^o) Г
- IL L-o) х'(о) + V"(-o), I
I
~\A"+Ol I
Точно так же проверяется, что в аналогичном случае для слабого |
сигнотона удовлетворяются условия (4.62),(5.13). Для "проходя- |
щего" слабого сигнотона начальные функции удовлетворяют услови- |
ЯМ -x'(o)Xt,'( + o) = Vc;(-t0^ nl'C+o^^^-fx'fo^) = |
I
Ho (±0)i0l lii(+oV-Kl(-o) = D)'/0(-M))--Vl(-o), j,
i I
Теорема 5.8. Для существования при U о решения зада- j
чи (I.I),(4.7),(3.7) с диаграммой рис. 5.2,а достаточно,чтобы
'Пга К"(-o') +V0(-o') + \/ГГй Mo (+o)-Ve(4o) > О, Г
(-о) > о.
При этом существует бесконечно много решений с диаграммой рис. 5.2,а . В
частности, можно произвольно при малых + задать фронт сильного сигнотона
x = "Lf-t) так, что -\Я+ц с
Доказательство. Как следует из доказательства предыдущей теоремы, задав
функции можно найти все осталь-
ные функции, определяющие решение (5.22). Покажем, что если -v/TTa <
oi'(e>K-, то fsY0) можно выбрать так, чтобы в соотношениях (5.26), (5.27)
имели бы место строгие неравенства. Это будет означать, что построенное
решение при малых + будет удовлетворять соответствующим условиям
монотонности. Положим
- 87 -
p'(o)~ 4\/uq. (oH(V74p-\!Fa) p\(o)
