Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маслов В.П. -> "Теория упругости для разномодульной среды" -> 19

Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.

Маслов В.П., Маслов П.П. Теория упругости для разномодульной среды — МИЭМ, 1985. — 100 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugostidlyaraznomodulnoysredi1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 .. 25 >> Следующая

для существования в некоторой окрестности лс.-о(-(=о решения задачи
(I.I),(4.7), (3.7) с диаграммой рис. 4.13,6 необходимо й достаточно
выполнения неравенства
)+ Wua и,' (?) - v< (\) г о, -У t 5 4 S,*86)
причем, решение задачи (1.1),(4.7),(3.7) с диаграммой рис. 4.13,6
единственно. Предполагается, что левая часть в (4.86) не является
тождественным нулем.
Доказательство. Решение u.Ctj-t) с диаграммой рис. 4.13,6 имеет вид:
uU,-t) = и,(г>()=^(х+\П^а-Ь)+^(д:-\/йа.4г) } xt-\|7Ta-t;
7
1*и,-Ц = U.,(*,V) = j>b(x+\/C5.^^<|s(T-\flR4X U(r,4)= 4v(T;-
t)=?4C"+Vua4)+^(T-Vua-t)^
- ^y(xt\|ua-fe')+ 'jyCx- V(+o-t-) ^ t t ,
10-Г
- 74 -
Из условий склейки на прямых х,- +
V-IM'CO >
Функция ?а. выражается через и* следователе
но, через qx(?):
. ф.*?ЬН ' ^E5W3 ,у
1 VhcL-vVv^ 1 ' vJTTn 5 )
Vhi-vVT-c[ i \ДТо. -хД^а. Таким образом, имеем:
чМ) -
Условие гЬ'У^/'Эх ^ о при \A-a-ti it \/T+ol i равносильно неравенству Ру
О • Последнее неравенство выполнено в
силу С^*85). Функция Uj(x,-t) имеет вид:
".М= Г p. (^"(xWRi^teao..*^
s/uaWRl\5'
Условие А* >., о равносильно неравенству ^ (^)+cj\(\)ЪЪ 1 что совпадает с
(4.86). Единственность построенного решения ] очевидна.
Замечание 4.10. Из доказательства теоремы 4.12 следует, что •;
необходимыми условиями существования решения задачи (1.1),(4.7),
(3.7) с диаграммой 4.13,6. являются неравенства
VT^a. ^ Ф"°, 'Лта-'и*0>) + 4^) 6 о.
Из лемм 4.4,4.5, теорем 4.11,4.12 вытекают теоремы 4.13 и 4.14.
Теорема 4.13. Пусть в некоторой окрестности х=о выпол-~ аены неравенства
Hi (х) < о при тс^о , при х>о
и выполнены соотношения (4.II). (4.62) - (4.65). Тогда в некоторой
окрестности -эе,^о,-t=o существует единственно* решение задачи
(1.1),(4.7),(3.7) и оно имеет диаграмму рис.4.131
- 75 -
г | теорема 4.14. Пусть в некоторой окрестности х=о вы-
| полнены соотношения C4.II),(4.82)-(4.86) и неравенства uj(x)<:0 j прИ
х*о , Но (х.) < о при х> о . Тогда в некоторой окрест-| н001И х=о; -Ь = о
существует единственное решение задачи(1Л),
(4.7)"С5.7) и оно имеет диаграмму рис. 4.13,6.
I замечание 4.II. Условия (4.II),(4.12),(4.67),(4.81) исклю-
чают диаграммы, содержащие слабые сигнотоны вида рис. 4.11,6,в. Однако
случай таких слабых сигнотонов, по существу также был рассмотрен. Это
следует из того, что если,например, имеется сла-I бцй сигнотон , ы.'
(Л) l-\I7*cl, то решение задачи (I.I),
(4.7),(3.7) находится лишь из начальных функций w0Cx.)^v0(x)
I при о не только в некоторой области, где x.fe , но и в I некоторой
области, примыкающей к ck<i) справа.
[ В заключение параграфа напомним, что относительно начальных функций
u0(^)j V0(x) , определенных в некоторой окрестности х-о" предполагалось
выполнение следующих условий. Функ-! ция и0Сх.) непрерывна ^функции ы4(
х.)^ х/чСх'у , определенные I при xt о , vA(x), определенные при
it>,o , являют-
[ ся достаточно гладкими функциями в своих областях определения;
1*1 С*) = Но (х) , ito,
И4Сх) - U.CO , *>.о,
IO-2
- 76 -
§ 5. Столкновение ударных волн |
В предыдущем параграфе был исследован процесс возникнове- I ния и
распространения (для малого интервала времени)ударных волн,* определяемый
начальными условиями. Этот же процесс можно рассма- | тривать как
результат столкновения ударных волн.Для описания яв-| ления столкновения
ударных волн остается еще решить вопрос о том, 1 какие решения уравнения
(I.I),определенные при4.<Ои удовлетво- j ряющие условию (3.7),приводят в
момент времени Ьо к данным I начальным условиям. Структура решений
уравнения (I.I),удовлетво- j ряющих условию (3.7),была подробно
исследована в § 4.В частности,! было показано,что если тЛ4А-фронт
сильного сигнотона,являющего- i| ся локальным максимумом (минимумом),го
x'(-t) <о ( хЧ-О >о) . |
Ряд свойств решений определяется только спецификой самого уравне-j ния
(I.I).Так,например,не существует решения уравнения(1.1) с ! диаграммой
рис.4.6а .В силу обратимости по времени уравнения
(I.1)находим,что не существует его решения с диаграммой рис.5.1.
Пусть начальная функция U"(x) определена и непрерывна в не- ; которой
окрестности точки х=о , а0(.о) = о и ui(x,)>o при I И.Ч^уо при х > о.
Кроме того, будем предполагать,что
+ >. о (5.1)
для любых *[",!*. из некоторой окрестности О таких,что и
для любых достаточно малых и таких,что
Условия (5.1),(5.2) на начальные данные означают,что решение задачи
(1.1),(4.7),(3.7) при -t s о определяется непосредственно через начальные
данные в областях -х&\Л-оЛ, д>/ -\ГГ+а.-Ь. Здесь, как и раньше,имеется в
виду локальное решение задачи, рассматриваемое в некоторой окрестности
точки х=о -t = o.
Условия (5.1),(5.2) будут выполнены,если,например, uJ(+o) < О. Тогда для
достаточно малого -t , -fc < о, решение задачи (1.1),(4.7),(3.7) может
иметь лишь диаграммы, изображенные на рис.5.2.Заметим,что диаграммы рис.
Ь.2,в,г,д можно
- 77 -
рассматривать как предельные к диаграммам рис. 5.2,а ,б.
Теорема 5.1.Для существования при -t t о решения задачи
(1.1)0 диаграммой рис. 5.2,днеобходимо и достаточно выполнения равенств
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 .. 25 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed