Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маслов В.П. -> "Теория упругости для разномодульной среды" -> 10

Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.

Маслов В.П., Маслов П.П. Теория упругости для разномодульной среды — МИЭМ, 1985. — 100 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugostidlyaraznomodulnoysredi1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 25 >> Следующая

утверждение леммыЦА для диаграммы
4.6,е . В этом случае график решения u(r,-fc) уравнения
(1.1) может иметь только вид, изображенный на рио. 4.8. Случай
4.6.6, невозможен в силу леммы 2.1. Пусть график tfCxA-) имеет
вид,изображенный на ряс.4,8,а.Тогда имеем;
U(x+ + <^1(х-\/4::а-1)при а(4Н х^'Яга4г,
9-1
- 34
Рис. 4.1
Рис. 4.2
Рис. 4.3
Рис. 4.4
5-2
- 36 -
- 37 -
при v/T^-U
причем
р|( А1к)*\П=вА:) + <\U*(-1)-\/Ра-1) = о, (*.1)
fIU(-t)+^) + ^'(di^)-\/bal)vo , ^*2)
J>A {Xfcai) = fj.((V/T+4 -*-\/R>0 + <|А(- (v/7Tq -'/Tq ^ (4.3)
рл! (да+>/ьа'Н)+<|Ц-(\П^1 -\/Г"Н) - О" (4.4)
pA4(^+^)t) + lU4'fffa-^7aH^O. <*-5>
Заметим,что для сколь угодно малого & существует интервал
S' , в котором неравенство (4.2) является строгим. В противном случае
- \Д-й при S"
и, следовательно, в диаграмме Ц(х;4) нет элемента вида 4.6,в. Из
соотношений (4.1),(4.2) следует, что в этом интервале pZ(oU±) + VPtr-fc)
> о . С другой стороны,из (4.4) находим, что
а ( ?) ^ -VTI*- р f^E^EL € С^.б)
№ " s!VTc,+\l<4. ' \ГП^-хДг-ч fj; 1 ^°-
Из соотношений (4.5),(4.6) следует, что рд(^)бо при малых ^ >, о .
Неравенства р/' ( 1) > о , рд ^ о при выполнении (4.6) противоречат
(4.3).
Передйем теперь к исследованию вопроса о существовании и единственности
обобщенного решения задачи Коши для уравнения (1*1), удовлетворяющего
условию (3.7). Несмотря на простой внешний вид уравнения (I.I),
доказательство теоремы о существовании и единственности обобщенного
решения задачи Коши для него,при условии выполнения неравенства (3.7),
если эта теорема вообще имеет мосто,по-видимому, является трудной
задачей. Мы сделаем ряд упрощающих предположений, касающихся структуры
разрывов решения и начальных условий. Эти предположения позволят доказать
теорему
- 38 -
существования и единственности в некотором классе функций. Относительно
разрывов предполагается, что они (при малых + ) располагаются на конечном
числе гладких кривых и на каждой из этих кривых разрыв монет менять свой
тип в рамках указанной классификации (например, сильный сигнотон
превращается в слабый лишь в конечном числе точек. Такое условие
выполняется,например, в случае, когда линии разрыва задаются графиками
аналитических функций.Предположения относительно начальных условий будут
приведены ниже.
Начальные условия запишем в виде;
Будем предполагать, что и0(тс) непрерывная функция, являющаяся достаточно
гладкой всюду, кроме, быть монет, конечного числа точек. Кроме того,
будем предполагать,что и.0' (хЛ имеет конечное число перемен знака.
Относительно V"(x^ предположим, что она является кусочно-гладкой
функцией, г.е. вне конечного числа точек V^x") непрерывно дифференцируема
и всюду существует предел производных слева и справа.
Рассмотрим и"(х) в окрестности некоторой точки х0 . Без ограничения
общности можно считать, что хв- о .В левой и правой полуокрестностях
точки х = о функция U<>' (х) сохраняет знак. Решая локальные задачи Коши
для соответствующих волновых уравнений, зависящих от знака U0' , с
начальными данными в указанных полуокрестностях, мы получим, что искомое
решение исходной задачи будет найдено в некоторой открытой области
плоскости (хД) -t> о , примыкающей к оси х по двум смежным интерва-лаи.
Таким образом,вопрос о существовании и единственности обобщенного решения
задачи Коши для уравнения (I.I) является локальным. Именно, он сводится к
исследованию решения u(x;4) в некоторой полуокрестности точки > О
. Доказательство
теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения
(I.I) будет проведено на основе рассмотрения возможных диаграмм решения в
окрестности точки о . При этом,
как будет показано ниже, среди возможных диаграмм содержатся весьма
сложные. Мы рассмотрим лишь простейшие варианты теоремы.
- 39 -
Зги варианты связаны с выделением некоторых классов начальных условий,
для которых решения имеют диаграммы наиболее простого вида.
Рассмотрим сначала случай, когда в точке х = о функция ив (х4) имеет
локальный максимум. Без ограничения общности можно предполагать, что
'Ц0(.о) = о .Далее, пусть Ш^(хЛ>о при х^о и Ио(х.)< о при ос > о .
Сформулируем теперь дополнительные условия на начальные данные, которые
существенно сужают класс возможных диаграмм для решений.
Рассмотрим две задачи Коши для линейных уравнений
где при , иА(х)-и0{х')при x7,o)v/t)--4,(x')
при ххо , v4 to) = Ve(-o"> , V* С х) = Ч, (х4) при x>o^vAfo)=v"(+o\ Тогда
легко проверить,что "ЭигЛх > о при xx-VF'q't ,если
HL(x,o). VL(_x.) ^ =
\ThQ (и! (У) + ui(jii) + yL (\\ - Vi (Ji) > о при -<Гхул <=¦ 7. ^о и
-х О при х >\Г7+с|"Ь
+ +vx(|')'4(p i0
(4.II)
, если
Рассмотрим' еще одну задачу Коши
; ' 7 с)ас
(4.12)
Тогда условие при nIT^o -t ? x 4 VT+a -t
но неравенству
равносиль-
- 40 -
\Д*а ui!(^ + ^ о ,
Предположим, что выполнены условия (4.10),(4.II),(4.13) относи-1 тельно
начальных данных. Тогда, принимая во внимание указанные . | выше
запрещенные диаграммы, находим, что для решения задачи Ковд! (IЛ),(4.7),
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 25 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed