Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Теория упругости для разномодульной среды
Автор: Маслов В.П.Другие авторы: Маслов П.П.
Издательство: МИЭМ
Год издания: 1985
Страницы: 100
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Скачать:
Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР МОСКОВСКИЙ
ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ
Кафедра прикладной математики
В.Н.МАСЛОВ, |П.П. УХОДОВ
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ДНЯ РАЗНОМОДОЛШОЙ СРВД
Рекомендовано Редсоветом института в качестве учебного пособия
Москва
1965
Уде 539.3:534.1
В.П.МАСЛОВ, |П.П.МОСОЛОВ]. Теория упругости для разноыодулькой среда*.
Учебное пособие. Москва, изд. МЮМ, 1965, с. 100.
Данное пособие посвящено исследованию физической модели рази* модульного
упругого тела. Особый вид нелинейного уравнения, описывающего динамику
разнокодульного тела, проявляется в полной интегрируемости уравнения, что
означает алгебраизуемость условий свивки на разрывах.В пособии приведена
классификация допустимых разрывов решения и доказаны теоремы о
существовании, единственности и струи туре локальных решений задачи Кови.
Исследовано большое число неавтомодельных задач, среди них-задача о
столкновении разрывов.
Пособие предназначено для студентов специальности 0647"Прик-ладн&я
математика".
Рецензенты:
1. Проф.,д-р фиэ.-мат.наук В.В.Кучеренко (МИСИ).
2. Канд.фиэ.-мат. наук В.Е.Наэайкинский (НИИ АСУ).
О Московский институт электронного машиностроения, 1965.
Темплан 1965 п. 108
Введение
Простейшая нелинейная задача динамической теории упругости приводит к
исследованию решений уравнения
иы' VCuxix=oJ (I)
описывающего одномерные движения в физически нелинейной упругой среде, в
которой напряжения 6Г и деформации 6> связаны законом Гука: & = ?(&) <А*я
простоты предполагается, что начальная плотность равна единице и
деформации малы: & = U-x. ).
Данное пособие посвящено исследовании модели разномодульного упругого
тела, в которой Ч'(Я) имеет вид ;
У(Л) а/ Л) , 1x1 */. (2)
Общая теория нелинейных гиперболических уравнений достаточно полно
разработана лишь для уравнений первого порядка. В еду чае уравнений
высших порядков и систем уравнений в основном исследо-
вались автомодельные решения, не описывающие всего многообразия
нелинейных эффектов. Однако и при автомодельных решениях в общем случае
возникает трудности при анализе перестроек и склеек автомодельных
решений для построения решения в целом. Поэтому
представляет интерес изучение конкретных нелинейных гиперболических
уравнений, имеющих фундаментальное физическое .обоснование и допускающих
достаточно полное математическое исследование. Этим требованиям отвечает
уравнение (I) с функцией У(Л) вида (2).
5 I. Физические задачи. приводите к уравнению (1).(2)
Рассматривается следующее нелинейное гиперболическое уравнение второго
порядка:
1и~Ш I*/*'- <I-I>
1-2
- 4 -
Уравнение (I.I) может быть получено,например, в рамках следующих двух
физических конструкций. Во-первых, это уравнение можно рассматривать как
описывающее асимптотическое поведение одномерной дискретной системы
связанных друг с другом материальных тех (система типа одномерного
кристалла), когда их число неогранн- j ченно увеличивается. Во-вторых,
уравнение (I) описывает простейшие водны "сжатия-растяжения" в
разномодульной упругой среде,т.е. . ! в упругой среде, в которой модули
сжатия и растяжения различны. Остановимся коротко на описании этих
физических конструкций .
Рассмотрим систему жестких тел, связанных упругими пружинами. I Элемент
этой системы, находящийся в положении равновесия, изобра-* жен на рис.
I.I.
Массы пружин предполагаются малыми по сравнению с массами тел. Рассмотрим
оначала случай, когда внешняя пружина жестко связана с телами, а
внутренняя пружина свободна. Тогда при сближении двух соседних тел
внутренняя соединяющая их пружина не будет оказывать воздействия на эти
тела (рис. 1.2).
Рис. 1.2 .
- 5 -
При удалении друг от друга двух соседних тел на них действует обе
соединяющие их пружины ( рис. 1.3).
Рис. 1.3
Считая тела материальными точками и составляя для них соответствующую
систему уравнений динамики, находим, как и в случав цепочки связанных
линейных осцилляторов, что решение этой системы обыкновенных
дифференциальных уравнений асимптотически (при большом числе материальных
точек) определяется решением уравнения в частных производных, которое
после замен переменных имеет, вид
(I.I), причем а < О . В случае цепочки линейных осцилляторов таким
уравнением является,как известно, уравнение колебаний струны. Боли же
рассматривать систему тел, изображенную на рис.1, в которой с телами
жестко связаны внутренние пружины, а внешние свободны,т.е. они оказывают
воздействие только при сближении.тел, то поведение такой системы
описывается уравнением вида (1.1)прн Л > о . Частным случаем такой
системы является цепочка контактирующих между собой упругих шаров. При
сжатии этой системы шары упруго деформируются и возникает
сила,отталкивающая шары друг от друга, при растяжении цепочка распадается
в совокупность j не взаимодействующих ааров. Такая цепочка контактирующих
наров описывается уравнением вида (I.I) при а = 1 . Эта система маров
соответствует случаю свободных внешних пружин при отсутствии внутренних.
