Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
118
ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ
[ГЛ. 6
ненные ниже, применимы как к случаю автономной, так и к случаю неавтономной гамильтоновой системы и содержат в себе, как частные выводы, утверждения упомянутых работ [53, 55, 60, 92]
о неустойчивости.
Рассмотрим сначала резонанс третьего порядка. Пусть в производящей функции (4.1) величины к і таковы, что для целых неотрицательных чисел kit сумма которых равна трем, число кгХг + &2А,2 + • • • + КК будет целым, равным N. При этом считаем, что других резонансных соотношений третьего порядка нет. Предположим также, что уже проведена нормализация производящей функции до членов третьего порядка. Тогда, согласно § 4, производящую функцию отображения Т можно записать в виде
S — гі (фі — 2jtki) -]-. . .-^«(фп— 2яХ„)
+ a sin [(к, <р) + Ы + О (г2). (6.1)
В (49) r°“ = rfrf . . . Гпп\ 2аі = ки осі + а2 -J- . . . + ап = = 3/2; О (г2) — величина порядка г\ + г\ + • • • + г«> а и & — некоторые числа, причем ясно, что можно считать а > 0; (k, q>) = = Аіфі кгф2 —J— ... —[— кпц>п.
Теорема. Если а ф 0, то неподвижная точка гг = г2 = . . . = = гп = 0 неустойчива.
Для доказательства выпишем сначала точечное отображение в явном виде. Из (6.1) получаем
г і = г® + айуо“ cos [(к, <р») + Ь]+0 (г»2), 6
фг = фі + 2пХі — аа.і -т— sin [(к, q>«) + b]+0 (r«).
4
Прежде чем приводить строгое доказательство, проведем анализ приближенного отображения, оставив в (6.2) только главные члены по г®. Такое укороченное отображение имеет, как легко проверить, инвариантные множества
Jj =s кгГ] — kjrt = const (/ = 2, 3, . . ., п). (6.3)
Если точка М лежит на поверхности (6.3), то и ТтМ тоже будет лежать на этой поверхности для всех т. Возьмем начальную точку М такой, чтобы она принадлежала пересечению поверхностей
кіГ) — kjr1 = 0. (6.4)
Тогда для укороченного отображения получим
г і = г® + akj&kf'rf1* cos [(k, <p°) + Ъ], ^ ^
(k, q>)]= (k, <p°) + 2nN — a krk^rf1*sin [(k, q>°) + b\.
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
119
Здесь . . . к%п. Отметим, что мы считаем кг Ф 0, т. е.
^то величина входит в резонансное соотношение. Это, разумеется, не ограничивает общности рассмотрения.
Из (6.5) видно, что если (к, ф°) + Ь = 0, то после т-кратного применения отображения Т получим
(к, <р) = (к, ф°) + 2nmN, а величина rt неограниченно возрастает.
После этого предварительного анализа уже .несложно провести строгое доказательство теоремы. Для доказательства неустойчивости построим функцию V, удовлетворяющую условиям теоремы § 2 о неустойчивости. И будем ее строить так, чтобы область
V 0 была узкой областью, содержащей внутри себя пересечение поверхностей (6.4). Именно такая идея построения функции Четаева V была использована в работах автора [53, 55, 60], а затем Хазиным в работе [92].
Функцию V возьмем в виде
П
^ = ГіП И — J*)cos[(k,<p) + b], (6.6)
}=i
За область V 0 берем область
¦-j-<(k,q>) + P<-?-, п = -^-Гі + r\fl12, К-Кі}.
Получим теперь разность V (rt, ф,) — V (г°, ф?). Для этого надо
V (rit ф;) выразить через г®, ф® согласно формулам отображения
(6.2), причем для упрощения выкладок это следует делать сразу для области V 0.
В области V 0 отображение (6.2) дает соотношения (6.5). Только в первом из этих равенств надо добавить величину порядка г0*, а во втором — порядка г°. Поэтому в области F]>0 получаем такие оценки:
П (Л - Jb - П<1 - ч» (гГ" и +«(Зп - 3)
3=2 3=2
cos [(к, ф) + b] = cos Ф + ~y akPki^rf12 sin2 Ф + О (rj).
Здесь введено обозначение Ф = (к, ф°) -)- Ъ.
Теперь для разности V (гі(ф,) — V (г?, ф°) в области V > 0 получаем такое выражение:
пЗП-З/2
X
V (rit Фі) - V (г?, ф?) = П (1 - Tii) \aklmk°rf
j=2
1 + (3п — 3) cos Ф + -1-sin2 ф] + О (rf1-1)}. (6.7)
120 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ.! 6
Величина, стоящая в фигурных скобках выражения (6.7), в облар-ти V 0 будет больше единицы. Поэтому при достаточно мальрс г і в области V 0 разность V (гь <р;) — V (г®, ф®) положительна. Следовательно, неподвижная точка rj = rj = . . . = г® = 0 неустойчива.
Рассмотрим теперь резонанс четвертого порядка. Пусть Я.? УДОВЛеТВОрЯЮТ реЗОНаНСНОМу СООТНОШеНИЮ к^ + • • • =
= N для целых kt > 0, сумма которых равна четырем. И пусть нет других резонансов третьего и четвертого порядков.
Производящая функция нормализованного до членов четвертого порядка по Vг® отображения имеет вид
S = г^фі— 2лА.і) r(n\yn — 2пХп) -j- F(r°i) -j-б(г®, Фі) -j- 0(rі ).
Здесь
P (rb = У a{j = aH,
i,j=l
фг) = ar<°) sin [(k, q>)+b], cXj > 0, ax+ a2 +• • •+ an =2,
величины atj, a, b — некоторые числа.
Явный вид отображения Т такой:
Tj = r°j 4- akjr°a cos Ф + О (rfl2),
п r°® 3/2
ф3 = ф® -j- 2nXj — 2 21 ацА — aa.j —5- sin Ф -f- О (г® ). (6.8)
i=l rj
Теорема. Если выполняется неравенство
\ak«\>\F (ft,)|, (6.9)
то неподвижная точка = г® =.. . = = 0 точечного отобра-
жения (6.8) неустойчива.
Для доказательства функцию V и область V 0 берем такими нее, как и при резонансе третьего порядка. В области 0
получаем такие оценки:
ri — r°i + cos Ф + О (г° ' ),
г°“ = k^rf +0(rf\
П (ri — А) =П (1 — Лі) + а {Ъп — 3) cos Ф + О (rf12)],
